Równania stycznych do elipsy.

[nijak]

1. Znajdź równania stycznych do elipsy \(5x^2+4y^2=20\) prostopadłych do prostej \(x+y-4=0\).
2. Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są punkty styczności elipsy i wyznaczonych prostych stycznych oraz ogniska elipsy.

[maria19]

Spróbuj sam, to na pewno było w szkole średniej
[ciach]
https://matematykaszkolna.pl/strona/42.html

[nijak]

Nie wychodzi mi. Byłbym wdzięczny za rozwiązanie.

[grdv10]

Proste prostopadłe do prostej \(x+y-4=0,\) czyli \(y=-x+4\), mają równania \(y=x+a\). Wstawiasz do równania elipsy i znajsujesz taki parametr \(a\), dla którego odpowiednie równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie. Mamy\[5x^2+4(x+a)^2=20,\]co daje nam\[9x^2+8ax+4a^2-20=0.\]Musi być \(\Delta=0\), skąd\[64a^2-4\cdot 9(4a^2-20)=0.\]Po obliczeniach zredukuje się to do \(a^2=9\), skąd \(a\in\{-3,3\}.\) Zatem nasze równania to \(y=x-3\) oraz \(y=x+3\).

[Jerry]

1. Znajdź równania stycznych do elipsy \(5x^2+4y^2=20\) prostopadłych do prostej \(x+y-4=0\).

Rodzina prostych prostopadłych do danej ma równanie:
\(l_m: y=x+m\wedge m\in\rr\)
Aby wskazać styczne, układ
\(\begin{cases}5x^2+4y^2=20\\y=x+m\end{cases}\)
musi mieć jedno rozwiązanie, czyli wyróżnik równania
\(5x^2+4(x+m)^2=20\iff9x^2+8mx+4m^2-20=0\)
musi się zerować!
\(\begin{cases}\Delta(m)=-80m^2+720\\ \Delta(m)=0\end{cases}\So m\in\{-3,3\}\)
Szukane proste mają równania: \(y=x-3\) oraz \(y=x+3\)
Ponadto punktami styczności są: \(S_1\left(-{4\over3},{5\over3}\right)\) oraz \(S_2\left({4\over3},-{5\over3}\right)\)

Pozdrawiam

[Jerry]

2. Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są punkty styczności elipsy i wyznaczonych prostych stycznych oraz ogniska elipsy.

Ogniskowa danej elipsy spełnia równość:
\(c^2=5-4=1\)
i oś wielka elipsy jest pionowa, zatem
\(F_1(0,-1)\) oraz \(F_2(0,1)\).
Rzeczony czworokąt jest równoległobokiem \(F_1S_2F_2S_1\) i jego pole jest równe
\(P=|\vec{F_1S_2}\times\vec{F_1S_1}|=| \begin{vmatrix}{4\over3}&-{2\over3}\\-{4\over3}&{8\over3} \end{vmatrix}|={8\over3} \)

Pozdrawiam
PS. Sprawdź, proszę rachunki

[maria19]

Nie wszystkie fora widać sa konkurencyjne
Wklepując w Google hasła: "styczna do elipsy + prosta prostopadła" szybko znajdziesz gotowca.

[Jerry]

Nie wszystkie fora widać sa konkurencyjne

Jeśli "tam" zalinkujesz wątek z naszego forum - zaliczysz warna.
Stosuję doktrynę "jak Kuba...", choć bez konsekwencji.

Pozdrawiam

[maria19]

PS. Jak wchodzę na tutejsze forum to najpierw wyświetla mi się strona z reklamą innej też konkurencyjnej strony.