Ciekawy dowód

[nijak]

Dana jest dodatnia liczba całkowita n oraz parami różne dodatnie liczby
rzeczywiste a, b, c spełniające równość
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} = 1\]
Trzeba dowieść że \[\frac{a^n-b^n}{a^{n+1}-b^{n+1}} + \frac{b^n-c^n}{b^{n+1}-c^{n+1}} + \frac{c^n-a^n}{c^{n+1}-a^{n+1}} < \frac{n}{n+1}\]

[grdv10]

Mam świadomość, że nierówności cykliczne rozwiązuje się elegancko przez różnego rodzaju przekształcenia. Zapewne je postudiuję i wzbogacę swój warsztat. Tutaj zaprezentuję proste rozwiązanie oparte na rachunku różniczkowym. Niech \(f(x)=x^n\) oraz \(g(x)=x^{n+1}.\) Zgodnie z twierdzeniem Cauchy'ego, jeśli \(0<x<y\), to istnieje liczba dodatnia \(z\in(x,y)\) o tej własności, że\[\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(z)}{g'(z)}=\frac{nz^{n-1}}{(n+1)z^n}=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{z}.\]

Nie zmniejszając ogólności można założyć, że \(a<b<c\). Istnieją więc liczby dodatnie \(\alpha\in(a,b)\), \(\beta\in(b,c)\) oraz \(\gamma\in(a,c)\) o tej własności, że\[\frac{a^n-b^n}{a^{n+1}-b^{n+1}}=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{\alpha},\quad \frac{b^n-c^n}{b^{n+1}-c^{n+1}}=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{\beta},\quad \frac{c^n-a^n}{c^{n+1}-a^{n+1}}=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{\gamma}.\]Dlatego\[\frac{a^n-b^n}{a^{n+1}-b^{n+1}}+\frac{b^n-c^n}{b^{n+1}-c^{n+1}}+\frac{c^n-a^n}{c^{n+1}-a^{n+1}}=\frac{n}{n+1}\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\right)<\frac{n}{n+1}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{n}{n+1}.\]

[grdv10]

A teraz przeprowadzę dowód bez użycia rachunku różniczkowego.

Wykażę następujący lemat: jeśli \(0<x<y\), to \[\frac{x^n-y^n}{x^{n+1}-y^{n+1}}<\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{x}.\]Mamy\[\frac{x^n-y^n}{x^{n+1}-y^{n+1}}=\frac{y^n\left(\left(\frac{x}{y}\right)^n-1\right)}{y^{n+1}\left(\left(\frac{x}{y}\right)^{n+1}-1\right)}=\frac{1}{y}\cdot\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^n-1}{\left(\frac{x}{y}\right)^{n+1}-1}\]Tak więc nasza nierówność jest równoważna nierówności\[\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^n-1}{\left(\frac{x}{y}\right)^{n+1}-1}<\frac{n}{n+1}\cdot\frac{y}{x}.\]Ta z kolei nierówność (podstawiamy \(t=\frac{x}{y}\in(0,1)\)) jest równoważna nierówności\[\frac{t^n-1}{t^{n+1}-1}<\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{t}.\]Korzystamy teraz z ogólnie znanego wzoru:\[t^n-1=(t-1)(1+t+t^2+\dots+t^{n-1})\](suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego). Mamy więc po uproszczeniu licznika i mianownika przez \((t-1)\):\[\frac{1+t+t^2+\dots+t^{n-1}}{1+t+t^2+\dots+t^n}<\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{t}.\]Po wymnożeniu obu stron przez \(t\) otrzymujemy równoważnie\[\frac{t+t^2+t^3+\dots+t^n}{1+t+t^2+t^3+\dots+t^n}<\frac{n}{n+1}.\]Niech teraz \(x=t+t^2+t^3+\dots+t^n<n\), bo przecież \(t<1\). Zatem mamy do wykazania nierówność\[\frac{x}{1+x}<\frac{n}{n+1}.\]A ona jest prawdziwa, gdyż skoro \(0<x<n\), to\[\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}<1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.\]Lemat jest więc udowodniony. Korzystając z niego dostajemy (zakładając bez straty ogólności, że \(a<b<c\)):\[\begin{multline*}\frac{a^n-b^n}{a^{n+1}-b^{n+1}}+\frac{b^n-c^n}{b^{n+1}-b^{n+1}}+\frac{c^n-a^n}{c^{n+1}-a^{n+1}}=\frac{a^n-b^n}{a^{n+1}-b^{n+1}}+\frac{b^n-c^n}{b^{n+1}-b^{n+1}}+\frac{a^n-c^n}{a^{n+1}-c^{n+1}}<\\<\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{a}+\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{b}+\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{c}=\frac{n}{n+1}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{n}{n+1}\end{multline*}\]na mocy założenia \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1.\)

Wniosek: Rozwiązanie z użyciem rachunku różniczkowego znacznie skraca rachunki. Rozwiązanie oparte na ciągach geometrycznych wymaga zastanowienia i dodatkowych przeliczeń, a ponadto jest znacznie dłuższe. Jednak nie trzeba się odwoływać do zaawansowanych narzędzi analizy matematycznej.