funkcja kwadratowa.

[nijak]

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(y = f(x)\) wiedząc, że jest on styczny do prostej \(y = 7x − 9\) w punkcie \((2,5)\) oraz przechodzi przez punkt \((− 1,11 )\) .

[grdv10]

Mamy \(f'(2)=7\), a także \(f(2)=5\) oraz \(f(-1)=11\).

Niech \(f(x)=ax^2+bx+c\). Wtedy \(f'(x)=2ax+b\).
\(f'(2)=7\) daje nam \(4a+b=7\)
\(f(2)=5\) daje nam \(4a+2b+c=5\)
\(f(-1)=11\) daje nam \(a-b+c=11\).

Rozwiązując ten układ równań otrzymamy \(a=3,\ b=-5,\ c=3.\) Zatem \(f(x)=3x^2-5x+3\).

Jeśli nie chcemy stosować pochodnych, to zamiast pierwszego równania możemy uwzględnić to, że styczna przecinają parabolę w dokładnie jednym punkcie, czyli równanie \(ax^2+bx+c=7x-9\), czyli \(ax^2+(b-7)x+(c+9)=0\) ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie. Idzie za tym \(\Delta=0\), czyli \((b-7)^2-4a(c+9)=0.\) Zastępujemy nim pierwsze z równań. Widać, że to bardziej skomplikowane, ale da się zrobić.

[nijak]

A mógłbys rozwiązać to tą drugą metodą którą opisałeś?
dziękuje

[grdv10]

To tylko kwestia trudniejszych obliczeń. Mamy układ równań\[\left\{\begin{aligned}4a+2b+c&=5\\a-b+c&=11\\(b-7)^2-4a(c+9)&=0\end{aligned}\right..\]

Z pierwszych dwóch równań wyliczamy \(a,b\) w zależności od \(c\):\[a = -\frac{1}{2} \, c + \frac{9}{2},\quad b = \frac{1}{2} \, c - \frac{13}{2}
\]Po wstawieniu tego do trzeciego równania otrzymamy\[\frac{9}{4}c^{2} - \frac{27}{2}c + \frac{81}{4}=0.\]Można zauważyć, że \(\Delta=0\) oraz \(c=3.\) Zatem \(a=3\) oraz \(b=-5\).