Monotoniczność i ograniczoność

[Sway22]

1) Zbadaj monotoniczność funkcji \( p(x) = \frac{1}{2x + 3} \) na półprostej \( [1, \infty ) \).

2) Badając monotoniczność i ograniczoność ciągu \( a_{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} \), uzasadnij istnienie jego granicy.

[radagast]

2) Badając monotoniczność i ograniczoność ciągu \( a_{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} \), uzasadnij istnienie jego granicy.

\( a_{n+1} = \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \ldots + \frac{1}{2n+2} \)
\( a_{n+1}- a_{n} = \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \ldots + \frac{1}{2n+2}- \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} - \ldots - \frac{1}{2n} = \frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}- \frac{1}{n+1} =\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}>0 \) - rosnący
\( a_{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} < \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+1}+...+ \frac{1}{n+1}= \frac{n}{n+1} <1 \)
Ciąg jest więc rosnący i ograniczony z góry zatem jest zbieżny.

[radagast]

1) Zbadaj monotoniczność funkcji \( p(x) = \frac{1}{2x + 3} \) na półprostej \( [1, \infty ) \).

"na półprostej \( [1, \infty ) \)" spełniony jest warunek \(x \ge 1 \)
weźmy więc \(x_1>x_2\ge1\) wówczas \(2x_1+3>2x_2+3>0\) czyli \( \frac{1}{2x_1+3}< \frac{1}{2x_2+3} \), co oznacza, że funkcja maleje na półprostej \( [1, \infty ) \)

[grdv10]

Co do samego wyznaczenia granicy, można zauważyć, że \(a_n\) jest sumą całkową dla całki\[\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln 2,\]ale to już wyższa szkoła jazdy. W każdym razie ta uwaga wykazuje, że granicą ciągu \((a_n)\) jest \(\ln 2.\)

Istotnie:\[a_n=\frac{1}{n}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n}}+\dots+\frac{1}{1+\frac{n}{n}}\right).\]Przyjmując \(f(x)=\frac{1}{1+x}\) mamy\[a_n=\frac{1-0}{n}\left(f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\dots+f\left(\frac{n}{n}\right)\right)\to\int_0^1 f(x)dx=\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln 2.\]