Aktyn

[małepiwko]

Okres połowicznego zaniku \(^225Ac\) wynosi 10 dni. Oblicz jaki procent początkowej liczby jąder pozostanie po:
a) 5 dniach
b) 15 dniach

[grdv10]

Rozpadem promieniotwórczym rządzi równanie różniczkowe\[x'(t)=-kx(t)\]z warunkiem początkowym \(x(0)=x_0\), gdzie \(x_0\) jest początkową liczbą jąder, masą itp, Stała \(k\) zależy od konkretnego pierwiastka. Rozwiązaniem tego równania jest\[x(t)=x_0e^{-kt}.\]Wyznaczymy stałą \(k\) dla aktynu. Wiemy po prostu, że \(x(10)=\frac{1}{2}x_0\). Tak więc\[\frac{1}{2}x_0=x_0e^{-10k}.\]Stąd\[\begin{aligned}\ln\frac{1}{2}&=-10k\\-\ln 2&=-10k\\k&=\frac{\ln 2}{10}.\end{aligned}\]Stąd funkcją rozpadu jest\[x(t)=x_0e^{-\frac{\ln 2}{10}}t.\]Wstawiam \(t=5\) i mamy\[x(5)=x_0e^{-\frac{\ln 2}{2}}\approx 0{,}71x_0,\]zatem po 5 dniach pozostanie ok. 71% początkowej liczby jąder. A po 15 dniach podobnie zostanie ok. 35% początkowej liczby jąder.

[małepiwko]

Co to jest "k" przy x(t)

[korki_fizyka]

W twoim podręczniku zapewne oznaczono ten współczynnik jako \(\lambda\), to stała rozpadu.

\(A(t) = A_o e^{-{\lambda t}}\)

\(\lambda = \frac{\ln2}{T_{1/2}}\approx \frac{0,693}{T_{1/2}}\)

[grdv10]

W twoim podręczniku zapewne oznaczono ten współczynnik jako \(\lambda\), to stała rozpadu.

\(A(t) = A_o e^{-{\lambda t}}\)

\(\lambda = \frac{\ln2}{T_{1/2}}\approx \frac{0,693}{T_{1/2}}\)

Ne czytam uczniowskich podręczników. Rozpad promieniotwórczy to pierwszy temat moich wykładów z równań różniczkowych zwyczajnych, stąd w pierwszym poście podałem to równanie. Więc przyjąłem nazwę współczynnika po prostu \(k\).