Okręgi wewnętrznie styczne a do nich styczna

[MatCh]

Witam, mam następujący problem logistyczny. Oto treść zadania:

Okrąg o środku w punkcie \(S(-3,-4)\) (w moim oznaczeniu będzie to okrąg T) jest wewnętrznie styczny do okręgu o równaniu (w moim oznaczeniu będzie to N) \(x^2 + y^2 + 12x + 16y = 0\). Znajdź równanie stycznej k do obu tych okręgów.

Bez problemu wyznaczam współrzędne obu okręgów:
\(T: (x + 3)^2 +(y+4)^2 = 5^2
N: (x+6)^2 + (y+8)^2 = 10^2\)

Po narysowaniu wszystko się zgadza, więc chyba zrobiłem to poprawnie. Teraz muszę wyznaczyć tę styczną, która będzie równocześnie styczna do zarówno jednego jak i drugiego okręgu. Myślałem o tym, żeby napisać układ równań w którym prosta od środku okręgu T jest odległa o 5 a od N o 10, ale po tym jak to zrobiłem, stwierdziłem że to zbyt dużo liczenia(dwie zmienne, dwie wartości bezwzględne - w sumie 4 przypadki). Jakieś inne pomysły, jak mógłbym to sprytnie policzyć? Z góry dziękuję za wszelkie sugestie.

Pozdrawiam

[Dosjan]

Zwróć uwagę, że jeżeli okręgi są styczne wewnętrznie to prosta styczna do nich może być tylko w punkcie styczności tych okręgów. Ten punkt styczności to (0,0). Szukana styczna to prosta przechodząca przez punkt (0,0) i prostopadła do prostej przechodzącej przez środki okręgów .

[MatCh]

@Dosjan

Dzięki serdeczne za pomoc. A czy mógłbyś mi jeszcze powiedzieć, jak w miarę szybko obliczyć ten punkt styczności tych dwóch okręgów?

[anka]

Punkt styczności wyjdzie z układu równań:
\(\{(x + 3)^2 +(y+4)^2 = 5^2\\(x+6)^2 + (y+8)^2 = 10^2\)

[Dosjan]

Zamiast rozwiązywać taki układ lepiej zauważ, że ten punkt styczności to punkt przecięcia prostej przechodzącej przez środki okręgóew z jednym z tych okręgów. Środki to (-3,-4) i (-6,-8) prosta przez te punkty to y=4/3x . Wystarczy do drugiego równania okręgu wstwwić y=4/3x a otrzymasz dwa punkt przecięcia ((0,0) i (12,16) ten pierwszy jest pkt styczności.

[MatCh]

@anka

Wiem, że układem da się radę, ale ja chciałem to obliczyć jak najszybciej , jak najmniejszym nakładem pracy;)

@Dosjan

Dzięki wielkie