Ciągłość funkcji

[pawek98p]

Witam, mam pewien problem z wyznaczaniem ciągłośći funkcji, które nie posiadają wyznaczonej dziedziny

Są 2 przykłady
1.f(x)= ln(x/1-x)
2.f(x)= x^2+6/x

Polecenie brzmi wyznacz dziedzine i ciągłość funkcji. Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak to rozwiązać?

[eresh]

Witam, mam pewien problem z wyznaczaniem ciągłośći funkcji, które nie posiadają wyznaczonej dziedziny

Są 2 przykłady
1.f(x)= ln(x/1-x)
2.f(x)= x^2+6/x

Polecenie brzmi wyznacz dziedzine i ciągłość funkcji. Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak to rozwiązać?

\(f(x)=\ln \frac{x}{1-x}\\
\frac{x}{1-x}>0\\
x(1-x)>0\\
D=(0,1)\)

\(f(x)=\frac{x^2+6}{x}\\
D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\)

Dziedziny wyznaczone masz, więc z ciągłością sobie poradzisz

[pawek98p]

Właśnie jakbyś mógł rozwinąć co zrobić po tych dziedzinach bo na etapie wyznaczania dziedzin utknąłem w tych przykładach?
Załóżmy, że wyznaczam ciąglość 2. funkcji licze z prawej i lewej strony a co wtedy z punktem 0? Z definicji ciągłości musi sie równać także temu punktowi a nie należy on do dziedziny i nie wiem co zrobić

[eresh]

Właśnie jakbyś mógł rozwinąć co zrobić po tych dziedzinach bo na etapie wyznaczania dziedzin utknąłem w tych przykładach?
Załóżmy, że wyznaczam ciąglość 2. funkcji licze z prawej i lewej strony a co wtedy z punktem 0? Z definicji ciągłości musi sie równać także temu punktowi a nie należy on do dziedziny i nie wiem co zrobić

Jeżeli punkt nie należy do dziedziny, to nie ma sensu badać w tym punkcie ciągłości

[pawek98p]

Czyli w podpunkcie 2. jeśli granica prawo stronna = granicy lewostronnej wtedy ta funkcja jest ciągła?

Tak samo w podpunkcie 1 nalezy zbadac granice prawo i lewo stronne w punktach 0 i 1 i jezeli rownaja sie sobie wtedy funkcja jest ciagla?

[eresh]

Czyli w podpunkcie 2. jeśli granica prawo stronna = granicy lewostronnej wtedy ta funkcja jest ciągła?

tak, w każdym punkcie należącym do dziedziny

Tak samo w podpunkcie 1 nalezy zbadac granice prawo i lewo stronne w punktach 0 i 1 i jezeli rownaja sie sobie wtedy funkcja jest ciagla?

nie możesz liczyć \(\Lim_{x\to 0^-}f(x)\), ani \(\Lim_{x\to 1^+}f(x)\), bo funkcja nie istnieje poza przedziałem \((0,1)\)

[pawek98p]

Ok dzięki dużo mi to rozjaśniło. Jeszcze jedno pytanie jeżeli mamy funkce y=√((1-x)/x) dziedzina jej wynosi (0,1>
W tym przypadku licze prawostronną granice 0, lewo stronna w 1 i 1 podstawiam z x bo nalezy do dziedziny. I w tym wypadku jezeli te 3 wartosci się sobie równają wtedy funkcja jest ciągła?

[eresh]

Ok dzięki dużo mi to rozjaśniło. Jeszcze jedno pytanie jeżeli mamy funkce y=√((1-x)/x) dziedzina jej wynosi (0,1>
W tym przypadku licze prawostronną granice 0, lewo stronna w 1 i 1 podstawiam z x bo nalezy do dziedziny. I w tym wypadku jezeli te 3 wartosci się sobie równają wtedy funkcja jest ciągła?

Nie wiem, jak wygląda wzór funkcji - na forum używamy LaTeX-a

Jeżeli dziedzina to \((0,1]\), to funkcja poza tym przedziałem nie istnieje, więc nie liczysz prawostronnej granicy w 1 i lewostronnej granicy w 0

[eresh]

funkcja z a)

funkcja z b)

Jak widać - obie są ciągłe

[pawek98p]

Po obliczeniu granicy lewo stronnej z przykladu 2. wychodzi -∞ a prawo stronnej wychodzi +∞. Z wynników nie wychodzi, że są ciągłe mógłbyś mi wytłumaczyć dlaczego jednak są?

Tak samo w przykładzie drugim granica prawo stronna 0 wynosi -∞ a lewostronna 1 jest niezdefiniowana

[eresh]

Po obliczeniu granicy lewo stronnej z przykladu 2. wychodzi -∞ a prawo stronnej wychodzi +∞. Z wynników nie wychodzi, że są ciągłe mógłbyś mi wytłumaczyć dlaczego jednak są?

Tak samo w przykładzie drugim granica prawo stronna 0 wynosi -∞ a lewostronna 1 jest niezdefiniowana

MogłAbym
a)
Niech \(x_0\in D\)
\(\Lim_{x\to x_0}\ln\frac{x}{1-x}=\ln\frac{x_0}{1-x_0}\\
f(x_0)=\ln\frac{x_0}{1-x_0}\\
\Lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)
funkcja jest ciągła dla \(x_0\in D\)

analogicznie dla drugiej funkcji

[pawek98p]

Ok dziękuję bardzo

Jeszcze tylko 1 sprawa która mnie nurtuje
Jeżeli mamy funkcje

x gdy x < 0
f(x) x^2 gdy 0 ≤ x ≤ 1
x^3 gdy x > 1

Wychodzi ze funkcja jest ciagla w punkcie xo = 0 i funckja jest ciagla w punkcie xo = 1
Czy cala ta funkcja tez jest ciagla jezeli wyszly 2 inne punkty xo?

[eresh]

Ok dziękuję bardzo

Jeszcze tylko 1 sprawa która mnie nurtuje
Jeżeli mamy funkcje

x gdy x < 0
f(x) x^2 gdy 0 ≤ x ≤ 1
x^3 gdy x > 1

Wychodzi ze funkcja jest ciagla w punkcie xo = 0 i funckja jest ciagla w punkcie xo = 1
Czy cala ta funkcja tez jest ciagla jezeli wyszly 2 inne punkty xo?

tak

na przyszłość - używaj LaTeX-a, w przeciwnym razie Twoje posty będą wędrować do śmietnika