zespolone kwadratowe

[taneltatius]

Rozwiązać równanie korzystając z postaci wykładniczej lub trygonometrycznej:
\(z^4-\sqrt{2}z^2=-16\)

oraz:
\((z+2)^2=(\overline{z}+2)^2\)

[maria19]

http://wyznacznik.pl/pierwiastkowanie-l ... ch-zadania

[taneltatius]

Wiem jak podstawowo pierwiastkować, ale dochodzę w pierwszym do delty = |i|√(62) i dalej mam \(z^2=\frac{\sqrt{2}\pm i\sqrt{62}}{2}\). I nie wiem jak to spierwiastkować by chociaż jeden pierwiastek otrzymać

[taneltatius]

Chyba że po prostu biorę taki duży pierwiastek, tak w sumie wolfram podpowiada. Ale nadal zastanawia mnie w jaki sposób zrobić to wykorzystując trygonometryczną postać. Drugie równanie jest dla mnie oczywiste, ale także nie potrafię tego zrobić za pomocą tej postaci.

[Jerry]

...dalej mam \(z^2=\frac{\sqrt{2}\pm i\sqrt{62}}{2}\). I nie wiem jak to spierwiastkować by chociaż jeden pierwiastek otrzymać

Np.: \(\frac{\sqrt{2}- i\sqrt{62}}{2}=4\left({\sqrt2\over8}-{\sqrt{62}\over8}i\right)\)
Istnieje taki \(\varphi\in\left({3\pi\over2},2\pi\right)\), że \(\cos\varphi={\sqrt2\over8}\). Wtedy
\(\begin{cases}\cos{\varphi\over2}=-\sqrt{\frac{1+{\sqrt2\over8}}{2}}\\ \sin{\varphi\over2}=\sqrt{\frac{1-{\sqrt2\over8}}{2}}\end{cases}\)
Zatem
\(\left(2\left(-\frac{\sqrt{8+\sqrt2}}{4}+\frac{\sqrt{8-\sqrt2}}{4}i\right)\right)^2=\frac{\sqrt{2}- i\sqrt{62}}{2}\)

Pozdrawiam

[taneltatius]

Super, ale skąd te wzory na cos(φ/2) i sin(φ/2)?

[Jerry]

...skąd te wzory na cos(φ/2) i sin(φ/2)?

\(\begin{cases}\cos^2{\alpha\over2}+\sin^2{\alpha\over2}=1\\\cos^2{\alpha\over2}-\sin^2{\alpha\over2}=\cos\alpha\end{cases}\So \begin{cases}2\cos^2{\alpha\over2}=1+\cos\alpha\\2\sin^2{\alpha\over2}=1-\cos\alpha\end{cases}\So
\begin{cases}|\cos{\alpha\over2}|=\sqrt{{1+\cos\alpha\over2}}\\|\sin{\alpha\over2}|=\sqrt{{1-\cos\alpha\over2}}\end{cases}\)

Pozdrawiam