Planimetria 10

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
avleyi
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 252
Rejestracja: 15 maja 2022, 13:41
Podziękowania: 302 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Planimetria 10

Post autor: avleyi »

W trapezie kąty przy dłuższej podstawie to \(60^ \circ \) i \(30^ \circ \), a długość wysokości trapezu wynosi 6. Oblicz pole trapezu oraz długości jego podstaw wiedząc, że suma długości ramion jest równa sumie długości podstaw.
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Planimetria 10

Post autor: eresh »

avleyi pisze: 12 paź 2022, 20:37 W trapezie kąty przy dłuższej podstawie to \(60^ \circ \) i \(30^ \circ \), a długość wysokości trapezu wynosi 6. Oblicz pole trapezu oraz długości jego podstaw wiedząc, że suma długości ramion jest równa sumie długości podstaw.
trapez ABCD
DE, CF - wysokości

\(\tg 60^{\circ}=\frac{|DE|}{|AE|}\\
|AE|\sqrt{3}=6\\
|AE|=2\sqrt{3}\)


\(\tg 30^{\circ}=\frac{6}{|BF|}\\
\frac{\sqrt{3}}{3}|BF|=6\\
|BF|=6\sqrt{3}\)


\(|AD|=\sqrt{6^2+(2\sqrt{3})^2}\\
|AD|=4\sqrt{3}\)


\(|CB|=\sqrt{36+(6\sqrt{3})^2}\\
|CB|=12\)


\(12+4\sqrt{3}=|DC|+2\sqrt{3}+|EF|+6\sqrt{3}\\
12-4\sqrt{3}=2|DC|\\
|DC|=|EF|=6-2\sqrt{3}
\)


\(P=\frac{2\sqrt{3}+6-2\sqrt{3}+6\sqrt{3}+6-2\sqrt{3}}{2}\cdot 6\\
P=12\sqrt{3}+36\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1897 razy

Re: Planimetria 10

Post autor: Jerry »

Albo: traktując dany trapez jako mnogościową różnicę dwóch trójkątów prostokątnych (oznaczenia jak na rysunku) i bawiąc się własnościami trójkąta charakterystycznego
001 (3).jpg
mamy:
  • \(|WC|=2x,\ |DW|={2x\over\sqrt3},\ |DC|={4x\over\sqrt3}\)
  • \(|WB|=2(x+6),\ |AW|={2(x+6)\over\sqrt3},\ |AB|={4(x+6)\over\sqrt3}\)
Pozostaje do rozwiązania równanie
\[{4x\over\sqrt3}+{4(x+6)\over\sqrt3}=\left(2(x+6)-2x\right)+\left({2(x+6)\over\sqrt3}-{2x\over\sqrt3}\right)\]
i wnioski

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ