Planimetria 9

[avleyi]

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \( \frac{\sin \alpha }{\sin \beta } = \frac{17}{25} \) (\( \alpha \) kąt wewnętrzny przy wierzchołku \(A\), \( \beta \) kąt wewnętrzny przy wierzchołku \(B\)). Na boku \(AB\) leży punkt \(D\) taki, że \(|AD| = 12,\ |DB| = 16,\ |CD| = 17\). Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\).

[eresh]

Dany jest trójkąt ABC, w którym \( \frac{sin \alpha }{sin \beta } = \frac{17}{25} \) (\( \alpha \) kąt wewnętrzny przy wierzchołku A, \( \beta \) kąt wewnętrzny przy wierzchołku B). Na boku AB leży punkt D taki, że |AD| = 12, |DB| = 16, |CD| = 17. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC.

\(\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}\\
\frac{a}{\frac{17}{25}\sin\beta}=\frac{b}{\sin \beta}\\
a=\frac{17}{25}b\\
\frac{a}{b}=\frac{17}{25}\\
a=17x\\
b=25x\)

\(|\angle CDB|=\gamma\\
|\angle CDA|=180^{\circ}-\gamma\)

\((17x)^2=17^2+16^2-2\cdot 17\cdot 16\cos\gamma\\
289x^2=545-544\cos\gamma\\
\cos\gamma=\frac{545-289x^2}{544}\)

\((25x)^2=17^2+12^2+2\cdot 17\cdot 12\cos\gamma\\
625x^2=433+408\cdot \frac{545-289x^2}{544}\\
625x^2=433+0,75(545-289x^2)\\
625x^2=433+408,75-216,75x^2\\
841,75x^2=841,75\\
x=1\)

\(a=17\\
b=25\\
c=28\\
P_{ABC}=\sqrt{35(35-17)35-25)(35-28)}\\
P=210\\
P=\frac{abc}{4R}\\
840R=11900\\
R=\frac{85}{6}\)