Ciągi

[matmabee]

1. Wyznacz ciąg arytmetyczny: \(b_6=17, \;\;\;b_7-b_2=20\)
2. Oblicz pole prostokąta o obwodzie 14cm jeśli długości jego boków oraz przekątnej tworzą ciąg arytmetyczny.
3. Suma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami malejącego ciągu geometrycznego jest równa 13. Jeżeli do pierwszej liczby dodamy 2 a do drugiej dodamy 5, a do trzeciej 4, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.

[eresh]

1. Wyznacz ciąg arytmetyczny: \(b_6=17, \;\;\;b_7-b_2=20\)

\(b_6=b_1+5r\\
17=b_1+5r\\
b_1=17-5r\)

\(b_7-b_2=20\\
b_1+6r-b_1-r=20\\
5r=20\\
r=4\\
b_1=17-20=-3\)

\(b_n=-3+(n-1))\cdot 4\\
b_n=-3+4n-4\\
b_n=4n-7\)

[eresh]

3. Suma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami malejącego ciągu geometrycznego jest równa 13. Jeżeli do pierwszej liczby dodamy 2 a do drugiej dodamy 5, a do trzeciej 4, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.

\(a+b+c=13\\
b^2=ac\)

(a+2,b+5,c+4) - ciąg arytmetyczny

\(b+5=\frac{a+2+c+4}{2}\\
2b+10=a+c+6\\
a+c=2b+4\)

\(a+b+c=13\\
2b+4+b=13\\
3b=9\\
b=3\)

\(a+c=6+4\\
c=10-a\)

\(b^2=ac\\
9=10a-a^2\\
a^2-10a+9=0\\
a=9\;\;\;a=1\\
b=3\;\;\;b=3\\
c=1\;\;\;c=9\)

Odpowiedź: \((9,3,1)\)

[eresh]

2. Oblicz pole prostokąta o obwodzie 14cm jeśli długości jego boków oraz przekątnej tworzą ciąg arytmetyczny.

\(2a+2b=14\\
a+b=7\\
b=7-a\\
a<7\)

\(b=\frac{a+d}{2}\\
14-2a=a+d\\
14-3a=d\)

\(a^2+b^2=d^2\\
a^2+49-14a+a^2=196-84a+9a^2\\
-7a^2+70a-147=0\\
a=3\\b=4\)

\(P=ab\\
P=12\)