Oblicz ile jest liczb

[avleyi]

Oblicz ile jest liczb naturalnych 6-cyfrowych.
a) których iloczyn jest równy 24
b) których suma jest równa 6
c) o różnych cyfrach i mniejszych od 556677

[Jerry]

Oblicz ile jest liczb naturalnych 6-cyfrowych.

\(9\cdot10^5\)

Oblicz ile jest liczb naturalnych 6-cyfrowych.
a) których iloczyn jest równy 24

Oblicz ile jest liczb naturalnych 6-cyfrowych.
b) których suma jest równa 6

Oblicz ile jest liczb naturalnych 6-cyfrowych.
c) o różnych cyfrach i mniejszych od 556677

\(4\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5+1\cdot4\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\)

Pozdrawiam

[avleyi]

chodzilo o iloczyn i sume cyfr..

[Jerry]

chodzilo o iloczyn [...] cyfr..

Ponieważ
\(24=8\cdot3\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1=6\cdot4\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1=6\cdot2\cdot2\cdot1\cdot1\cdot1=4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot1\cdot1=3\cdot2\cdot2\cdot2\cdot1\cdot1\)
to wybieram pozycje dla cyfry największej, spośród pozostałych pozycji wybieram dla mniejszej, ...., pozostałe pozycje zapełniam jedynkami i mnogość szukanych liczb jest równa
\({6\choose1}\cdot{5\choose1}+{6\choose1}\cdot{5\choose1}+{6\choose1}\cdot{5\choose2}+{6\choose1}\cdot{5\choose1}\cdot{4\choose1}+{6\choose1}\cdot{5\choose3}=\ldots\)

Pozdrawiam
PS. Pisz, prosimy, uważniej treści zadań

[Jerry]

chodzilo o [...] sume cyfr..

Można, jak w powyższym:
\(6=6+0+0+0+0+0=\\ \quad=5+1+0+0+0+0=5+0+1+0+0+0=\ldots=\\ \quad=4+2+0+0+0+0=4+0+2+0+0+0=\ldots=4+1+1+0+0+0=\ldots\\ \quad=\ldots\ \\ \quad=1+5+0+0+0+0=\ldots =1+1+1+1+1+1+0\)
czyli wybieram "ręcznie" cyfrę rzędu najwyższego i pozycje dla pozostałych składników.

Wygodniejszą metodą będzie:
Danych liczb jest tyle, ile istnieje rozwiązań równania
\(t_1+(t_2-1)+(t_3-1)+(t_4-1)+(t_5-1)+(t_6-1)=6\iff\\ \qquad \iff t_1+t_2+t_3+t_4+t_5+t_6=11\)
w liczbach całkowitych dodatnich, gdzie cyfra \(x_1=t_1\) a kolejne cyfry \(x_i=t_i-1\).

Jest ich zatem \({11-1\choose 6-1}=1260\)

Przeczytaj, proszę, mój post o patyczkach w wątku - uzasadnienie powyższego...

Pozdrawiam