Płaszczyzna i punkty

[_Dawid_]

Sprawdzić czy punkty A(−1, 2, 2), B(1, 1, 0), C(0, 0, 1) i D(−1, 3, 3) leżą w jednej płaszczyźnie

Jak mam to zrobić, bo dla trzech punktów robiłem wyznacznik 3x3 i jeżeli dostałem zero to wtedy leżały na jednej płaszczyznie. Zatem czy mogę po prostu zrobić wyznacznik 4x4 i wyliczyć?

[radagast]

Trzy punkty zawsze leżą na jednej płaszczyźnie.
Tu: poprowadź płaszczyznę przez punkty ABC i sprawdź czy punkt D na niej leży.
(moim zdaniem powinno Ci wyjść , ze nie są współpłaszczyznowe ale ja się czasem mylę)

[_Dawid_]

Trzy punkty zawsze leżą na jednej płaszczyźnie.
Tu: poprowadź płaszczyznę przez punkty ABC i sprawdź czy punkt D na niej leży.

Bo z 3 wektorami jakby miał zrobić czy leżą na jednej płaszczyźnie to robię ten wyznacznik 3x3 i gdy 0 wychodzi to leżą tak?
A dla 4 wektorów to już inaczej?

[_Dawid_]

A co do pytania to robię po prostu wektory AB,AC,AD i wyznacznik?

[Jerry]

Sprawdzić czy punkty A(−1, 2, 2), B(1, 1, 0), C(0, 0, 1) i D(−1, 3, 3) leżą w jednej płaszczyźnie

Według mnie - najprościej:
\(\vec{AB}=[2,-1,-2],\,\vec{AC}=[1,-2,-1],\,\vec{AD}=[0,1,1]\)
Sprawdź, czy istnieją \(a,b\in\rr\) takie, że
\(a\cdot\vec{AB}+b\cdot\vec{AC}=\vec{AD}\)
czyli czy istnieje rozwiązanie układu
\(\begin{cases}2a+b=0\\-a-2b=1\\-2a-b=1\end{cases}\)

Pozdrawiam
PS. Podpowiedź radagast jest równie cenna, tylko rozwiązanie dłuższe...

[radagast]

PS. Podpowiedź radagast jest równie cenna, tylko rozwiązanie dłuższe...

Dłuższe ? :
\(\vec{AB}=[2,-1,-2],\,\vec{AC}=[1,-2,-1]\\
\vec{AB} \times \vec{AC}=[-3,0,-3] \parallel [1,0,1]\)
równanie płaszczyzny ABC ma postać: \(x+z+D=0\)
przy czym D=-1
czyli \(x+z-1=0\)
wystarczy sprawdzić czy współrzędne punktu D spełniają ten warunek.

[_Dawid_]

A co do pytania to robię po prostu wektory AB,AC,AD i wyznacznik?

Te rozwiązanie też jest dobre? Bo wyliczam tutaj jakby objętość prostopadłościanu i V=0 to oznacza że wektory leżą na tej samej płaszczyźnie, prawda?

[radagast]

Nie leżą

[_Dawid_]

Nie leżą

Otóż chyba mam rację, jeżeli iloczyn mieszany jest równy zero, to znaczy, że nie mam do czynienia z bryłą, ale z figurą płaską. Czyli wektory ją tworzące też leżą na jednej płaszczyźnie. Wysokość jest równa 0 więc dostajemy spłaszczoną bryłę.

[radagast]

Sprawdzić czy punkty A(−1, 2, 2), B(1, 1, 0), C(0, 0, 1) i D(−1, 3, 3) leżą w jednej płaszczyźnie

Jak mam to zrobić, bo dla trzech punktów robiłem wyznacznik 3x3 i jeżeli dostałem zero to wtedy leżały na jednej płaszczyznie. Zatem czy mogę po prostu zrobić wyznacznik 4x4 i wyliczyć?

Może mylę się w rachunkach... ale patrz:
płaszczyzna ABC ma równanie \(x+z-1=0\)
A na niej leży ,bo \(-1+2-1=0\)
B na niej leży ,bo \(1+0-1=0\)
C na niej leży ,bo \(0+1-1=0\)
D na niej nie leży , bo \(-1+3-3 \neq 0\)
(punkty ABC nie są współliniowe)
no to gdzie tu błąd ?

Teraz Ty przedstaw swoje rachunki to może dojdziemy do wspólnych wniosków
(iloczyn mieszany \((\vec{AB} \times \vec{AC} ) \circ \vec{AD}\) wychodzi mi -3)

[_Dawid_]

Dobrze, nie zrozumieliśmy się ja mówiłem o przypadku ogólnym, nie dot. tego zadania. Faktycznie wychodzi -3 co daje V=3 co oznacza że nie leżą