Witam,
mam nadzieje, ze zadaje pytanie w odpowiednim miejscu.
Trafilem niedawno na fragment egzaminu maturalnego sprzed niemalze 100 lat, gdzie bylo ponizsze zadanie. No i niestety niespecjalnie potrafie sobie z nim poradzic. Chwilami mam wrazenie, ze juz widze sposob, ale do konca jakos niespecjalnie...
Moze ktos z Was mialby chwile, i moglby napisac, jak je rozwiazac?
Ponizej tekst z arkusza maturalnego:
Na srednicy AB + 2R - danego polokregu wzieto dwa punkty C i D tak, ze AC = x i DB = 2x, przyczem punkt D lezy na odcinku CD. Z punktu C wzniesiono prostopadla do srednicy AB, przecinajaca polokrag w punkcie F. Punkty F i D polaczono odcinkiem prostej. Wyznaczyc wielkosc x, jezeli FD = a. Dyskusja wzgledem a.
Fragment matury z 1930 roku - półokrąg, chyba tez trójkąty
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1939 razy
Re: Fragment matury z 1930 roku - półokrąg, chyba tez trójkąty
Nie wygląda to na oryginalną treść... Przyjmuję, że + to =, i \(D\in\overline{CB}\)Zenon89 pisze: ↑26 cze 2022, 14:47 Na srednicy AB + 2R - danego polokregu wzieto dwa punkty C i D tak, ze AC = x i DB = 2x, przyczem punkt D lezy na odcinku CD. Z punktu C wzniesiono prostopadla do srednicy AB, przecinajaca polokrag w punkcie F. Punkty F i D polaczono odcinkiem prostej. Wyznaczyc wielkosc x, jezeli FD = a. Dyskusja wzgledem a.
- Z \(\Delta ABF\) i tw. o średniej geometrycznej mamy: \(|FC|^2=x\cdot(2R-x)\), gdzie \(x\in(0; {2R\over3})\)
- \(|CD|=2R-3x\)
- Z \(\Delta CDF\) i tw. Pitagorasa mamy \(x\cdot(2R-x)+(2R-3x)^2=a^2\), gdzie \(a\in(0; 2R)\)
\[8x^2-10Rx+4R^2-a^2=0\\
\ldots\\
x_1=\frac{5R-\sqrt{8a^2-7R^2}}{8}\vee x_2=\frac{5R+\sqrt{8a^2-7R^2}}{8}\text{ o ile } a\ge{\sqrt{14}R\over4}\] - Pozostaje sprawdzenie czy \(x_1,\,x_2\), dla \(a\ge{\sqrt{14}R\over4}\), spełniają warunki:
- \(0<\frac{5R-\sqrt{8a^2-7R^2}}{8}<{2R\over3}\\ \ldots \\ a>{R\over2} \text{ zatem OK }\\ \)
-
\(0<\frac{5R+\sqrt{8a^2-7R^2}}{8}<{2R\over3}\\ \ldots\\ a<{2\sqrt2R\over3}\)
czyli drugie rozwiązanie pojawia się tylko dla dla \(a\in\left({\sqrt{14}R\over4}; {2\sqrt2R\over3}\right)\)
Re: Fragment matury z 1930 roku - półokrąg, chyba tez trójkąty
Masz niestety racje, faktycznie zobaczylem ze bylo bez sensu... Mea culpa. Teraz wyglada juz w porzadku.
Na srednicy AB = 2R - danego polokregu wzieto dwa punkty C i D tak, ze AC = x i DB = 2x, przyczem punkt D lezy na odcinku CB. Z punktu C wzniesiono prostopadla do srednicy AB, przecinajaca polokrag w punkcie F. Punkty F i D polaczono odcinkiem prostej. Wyznaczyc wielkosc x, jezeli FD = a. Dyskusja wzgledem a.
Re: Fragment matury z 1930 roku - półokrąg, chyba tez trójkąty
Dzieki! Dales rade, mimo ze tresc byla z bledami
Mniej wiecej tak myslalem, jednak "zawiesilem sie" przy probie zapisania \(|FC|\), bo nie znalem (nie pamietalem?), tej zaleznosci ktora opisujesz jako "twierdzenie o sredniej geometrycznej".
W sumie, to na to haslo wyszukiwarka sugeruje wpis w angielskiej Wiki, po polsku nie ma tam takiego artykulu.