Rozwiąż równanie różniczkowe

[Zibi123]

Rozwiąż równanie różniczkowe
\(\frac{dy}{dx} =6 \cos (x-y) \)

[kerajs]

\(t=x-y \ \ \So \ \ t'_x=1-y'x \\
1-t'=\cos t \\
\int_{}^{} \frac{dt}{1-\cos t} = \int_{}^{} dx\)
sugeruję przejście na kąt t'/2

[Zibi123]

Nie za bardzo wiem jak to zrobić

[Zibi123]

Proszę o pomoc

[radagast]

\( \int_{}^{} \frac{dt}{1-\cos t} = \int_{}^{} dx\)
czyli
\(\displaystyle x= \int \frac{dt}{1-\cos t} \)
no to policzmy tę całkę tak jak sugerował Kerajs:
\(\displaystyle \int \frac{dt}{1-\cos t} =\int \frac{dt}{1- \frac{1-tg^2 \frac{t}{2} }{1+tg^2 \frac{t}{2}} }= \begin{vmatrix} tg \frac{t}{2}=u\\t=2\arctg u \\ dt= \frac{2du }{1+u^2} \end{vmatrix} =\int \frac{\frac{2du }{1+u^2}}{1- \frac{1-u^2 }{1+u^2} }= \int \frac{2du}{1+u^2- 1+u^2 }= \int \frac{du}{u^2 }=...\)
dalej już łatwo

[Zibi123]

Ok czyli wychodzi \(x=- \frac{1}{ \tg \frac{t}{2} } \)?

[radagast]

właściwie tak ale zapisałabym to raczej : \(x=- \frac{1}{ \tg \frac{x-y}{2} } =\ctg \frac{y-x}{2} \)
czyli \(y= x+2\arcctg x \)

[kerajs]

no to policzmy tę całkę tak jak sugerował Kerajs:
\(\displaystyle \int \frac{dt}{1-\cos t} =\int \frac{dt}{1- \frac{1-tg^2 \frac{t}{2} }{1+tg^2 \frac{t}{2}} }= \begin{vmatrix} tg \frac{t}{2}=u\\t=2\arctg u \\ dt= \frac{2du }{1+u^2} \end{vmatrix} =\int \frac{\frac{2du }{1+u^2}}{1- \frac{1-u^2 }{1+u^2} }= \int \frac{2du}{1+u^2- 1+u^2 }= \int \frac{du}{u^2 }=...\)

Sugerowałem coś takiego:
\( \int \frac{dt}{1-\cos t} = \int \frac{dt}{1-(1-2\sin^2 \frac{t}{2}) } =\int \frac{ \frac{dt}{2} }{\sin^2 \frac{t}{2} } =-\ctg \frac{t}{2}+C \)

Co do równania różniczkowego, to w rozwiązaniu brakuje stałej.