Dwusieczna w tójkącie i równość boków.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Dwusieczna w tójkącie i równość boków.
W trójkącie \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty. Na dwusiecznej kąta \(ACB\) zaznaczono punkt \(D\) w taki sposób, że \(|\angle DAB|=45^{\circ}\). Wykaż, że \(|AD|=|DB|\).
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
Re: Dwusieczna w tójkącie i równość boków.
\(AB, CD\) - przekątne czworokątaJanuszgolenia pisze: ↑09 lut 2022, 11:59 W trójkącie \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty. Na dwusiecznej kąta \(ACB\) zaznaczono punkt \(D\) w taki sposób, że \(|\angle DAB|=45^{\circ}\). Wykaż, że \(|AD|=|DB|\).
\(|\angle DCB|=|\angle BAD|=45^{\circ}\)
Przekątne tworzą z bokami kąty tej samej miary, zatem na czworokącie można opisać okrąg. Stąd \(|\angle ABD|=|\angle ACD|=45^{\circ} \) (kąty wpisane oparte na tym samym łuku).
W trójkącie ADB: \(|\angle DAB|=|\angle DBA|\), więc \(|AD|=|DB|\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1939 razy
Re: Dwusieczna w tójkącie i równość boków.
Treść zadania jest niejednoznaczna, jeżeli \(|\angle CAB|>45^\circ\), to istnieją dwa punkty \(D\) spełniające założenia, a tylko jeden spełnia tezę - ten leżący w zewnętrzu \(\Delta ABC\)
Zrób schludny rysunek, niech \(Q\) będzie środkiem \(\overline{AB}\), czyli środkiem okręgu opisanego na \(\Delta ABC\), punkt \(E\) punktem wspólnym dwusiecznej \(\angle ACB\) z okręgiem opisanym na danym trójkącie. Wtedy, z 1. tw. geometrii koła, \(|\angle EQB|=2\cdot45^\circ=90^\circ,\ |\angle QBE|=|\angle QAE|=45^\circ\), zatem \(\Delta AEB\) jest równoramienny oraz \(E\equiv D\). Czyli teza zadania jest prawdziwa.
Pozdrawiam
[edited] pisałem z przerwami... Pozostawiam jako rozwiązanie alternatywne
Zrób schludny rysunek, niech \(Q\) będzie środkiem \(\overline{AB}\), czyli środkiem okręgu opisanego na \(\Delta ABC\), punkt \(E\) punktem wspólnym dwusiecznej \(\angle ACB\) z okręgiem opisanym na danym trójkącie. Wtedy, z 1. tw. geometrii koła, \(|\angle EQB|=2\cdot45^\circ=90^\circ,\ |\angle QBE|=|\angle QAE|=45^\circ\), zatem \(\Delta AEB\) jest równoramienny oraz \(E\equiv D\). Czyli teza zadania jest prawdziwa.
Pozdrawiam
[edited] pisałem z przerwami... Pozostawiam jako rozwiązanie alternatywne