\(
zad.1 \\
a) \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{2n+4}{2n-1} \\
b) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{n^2+1} \\
c) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^nn}{n^2+1} \\
d) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n(n+2)}{2n^3-1} \\
e) \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{n^2+1}{n^2+2} \\
f) \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{1}{n^2} \\
zad.2 \\
a) \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{4n}{2n+1} \\
b) \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{4n}{2n^2+1} \\
c) \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{4n}{2n^3+1} \\
\)
Zbadaj zbieżność szeregu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: Zbadaj zbieżność szeregu
\(a_n=\frac{1}{n^2+1}\\
\Lim_{n\to\infty}a_n=0\\\)
\((a_n)\) jest malejący
na mocy kryterium Leibniza szereg jest zbieżny
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
Re: Zbadaj zbieżność szeregu
a jak zrobić z szeregami w których \( \Lim_{n\to \infty } a_n \neq 0 \) i nie można skorzystać z kryterium Leibniza?
-
- Guru
- Posty: 17550
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
-
- Guru
- Posty: 17550
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
-
- Guru
- Posty: 17550
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Zbadaj zbieżność szeregu
\( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n(n+2)}{2n^3-1} = \sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^n \left[\frac{n}{2n^3-1}+ \frac{2}{2n^3-1} \right] \)
łatwo pokazać (posługując się kryterium porównawczym) , że seregi
\( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n}{2n^3-1}\) oraz \( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{2n^3-1}\)
są zbieżne bezwzględnie zatem szereg \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n(n+2)}{2n^3-1}\) jest zbieżny ( i to bezwzględnie).
-
- Guru
- Posty: 17550
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Zbadaj zbieżność szeregu
\( \frac{n}{n^2+1} \ge 0\)
\( \Lim_{n\to \infty } \frac{n}{n^2+1} = 0\)
ciąg \( \left( \frac{n}{n^2+1}\right) \) jest nierosnący
zatem na mocy kryterium Leibniza szereg jest zbieżny (ale nie jest zbieżny bezwzględnie)