Jeśli funkcja \(f\) jest ciągła w \((- \infty , \infty )\) i nieparzysta, to \( \int_{ -\infty }^{ \infty } f(x)dx=0 \).
Zdanie fałszywe, ale jak to uzasadnić?
uzasadnienie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1939 razy
Re: uzasadnienie
Z nieparzystości:
\(\int_{-\infty}^0f(x)dx=-\int_0^{+\infty}f(x)dx\)
a
\(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=\int_{-\infty}^0f(x)dx+\int_0^{+\infty}f(x)dx\)
Pozdrawiam
\(\int_{-\infty}^0f(x)dx=-\int_0^{+\infty}f(x)dx\)
a
\(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=\int_{-\infty}^0f(x)dx+\int_0^{+\infty}f(x)dx\)
Pozdrawiam
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: uzasadnienie
\((-\infty,\infty)=(-\infty, 0)\cup [0,\infty)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
Re: uzasadnienie
nie mogę się z tym zgodzić, no ale ok, liczę:
\(\int_0^{+\infty}x\mbox{d}x = +\infty\)
hmm...
\(\int_{-\infty}^0x\mbox{d}x = -\infty\)
\(\int_0^{+\infty}x\mbox{d}x = +\infty\)
hmm...
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: uzasadnienie
Najszybciej kontrprzykładem.
\( \Lim_{t \to \infty} \int_{-t}^{2t} \frac{2x}{x^2 + 1} dx =\ln(4) \neq 0 \)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1939 razy
Re: uzasadnienie
AIcanseepeace pisze: ↑28 sty 2022, 08:47 ... kontrprzykładem.
\( \Lim_{t \to \infty} \int_{-t}^{2t} \frac{2x}{x^2 + 1} dx =\ln(4) \neq 0 \)
\(\Lim_{t \to \infty} \int_{-2t}^{t} \frac{2x}{x^2 + 1} dx =-\ln 4\)
czyli
\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2x}{x^2 + 1} dx =\mbox{ nie istnieje}\)
Pomimo wszystko, wobec nieparzystości, liczyłbym
\(\Lim_{t \to \infty} \int_{-t}^{t} \frac{2x}{x^2 + 1} dx =0\)
i trwał w przekonaniu...
Pozdrawiam
[edited] Interesująca może być odpowiedź egzaminatora!
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: uzasadnienie
Oczywiście, że nie istnieje( całka nie jest zbieżna).Jerry pisze: ↑28 sty 2022, 10:23AIcanseepeace pisze: ↑28 sty 2022, 08:47 ... kontrprzykładem.
\( \Lim_{t \to \infty} \int_{-t}^{2t} \frac{2x}{x^2 + 1} dx =\ln(4) \neq 0 \)
\(\Lim_{t \to \infty} \int_{-2t}^{t} \frac{2x}{x^2 + 1} dx =-\ln 4\)
czyli
\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2x}{x^2 + 1} dx =\mbox{ nie istnieje}\)
Tutaj liczysz wartość główną całki, więc wypada to stosownie zaznaczyć:
\(
p.v. \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{2x}{1 + x^2} dx = 0
\)
Dołączam również link do nieomylnego wolframa:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... inf+to+inf