\(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = \sqrt{2} \sin x \)
Po podniesieniu stronami otrzymuję:
\( \sin^2\frac{x}{2} + 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} = 2\sin^2x\)
Po lewej stronie korzystam z funkcji podwojonego kąta oraz jedynki trygonometrycznej:
\(1 + \sin x = 2\sin^2x\)
\(-2\sin^2x + \sin x +1 = 0\)
Niech \(t = \sin x\) , \(t \in \langle -1;1\rangle\)
\(-2t^2 + t + 1 = 0 \)
\(t_1 = 1\) , \(t_2 = -1/2\).
czyli \(x = \pi/2 + 2k \pi \)
lub \(x = - \pi /6+2k \pi \)
lub \(x = -5/6 \pi +2k \pi \)
Zbiór w odpowiedzi ma \(x=\pi /2+4/3k \pi.\)
Proszę o pomoc gdzie popełniłem błąd. Z góry dziękuję.
Zadanie trygonometria
Regulamin forum
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Proszę zapoznać się z zasadami dodawania postów w tym dziale!
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Zadanie trygonometria
W odkryciu błędu pomogło mi studium wykresów z Desmosa. Linia czerwona - oryginalne równanie po przeniesieniu wszystkiego na lewo. Linie zielona i niebieska - twoje serie \(t_1,t_2\). Widzisz, że tego jest więcej.
https://www.desmos.com/calculator/9cob9zwgsq
Podnosisz równanie stronami do kwadratu. Masz \(a=b\), więc \(a^2=b^2\), ale stąd nie wynika, że \(a=b\), tylko, że \(|a|=|b|\). Tak więc trzeba jeszcze wykonać sprawdzenie i odpadną nam części obu serii. Bo w Twoim rozwiązaniu nieprawnie coś nam przybyło. Będzie tam trzeba brać tylko \(k\) parzyste, a dla \(k\) nieparzystych równanie nie będzie zachodzić. Będziesz to w stanie sam sprawdzić? Samo rozwiązanie równania kwadratowego jest poprawne.
Biorąc więc w Twoich trzech seriach tylko \(k\) parzyste, czyli zapisując \(4k\pi\) zamiast \(2k\pi\) możesz spróbować zapisać te trzy serie w jednej i powinno się zgodzić. Po prostu zaznacz wszystkie rozwiązania w przedziale powiedzmy \(\langle 0,4\pi\rangle\) i zauważ, że tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli \(4\pi\) będzie za mało, weź \(8\pi\).
Tak więc metoda podnoszenia do kwadratu jest tutaj ryzykowna. Na maturze pogubisz się w tym. Sam nie wiem czy bym się połapał w ograniczonym czasie.
Zawsze więc po podniesieniu stronami do kwadratu albo wiemy, że dwie strony i tak były tych samych znaków i można bezboleśnie powrócić do wyjściowego równania, albo tego nie wiemy i wtedy otrzymamy sprzeczność. Tak więc musisz z tym podnoszeniem do kwadratu bardzo, bardzo uważać.
Proponuję rozwiązać to zadanie w nieco inny sposób: dzieląc przez \(\sqrt{2}\) otrzymamy\[\sin \frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos \frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin x,\]skąd\[\sin \frac{x}{2}\cos\frac{\pi}{4}+\cos \frac{x}{2}\sin\frac{\pi}{4}=\sin x,\]więc\[\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=\sin x\]i dalej\[\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-\sin x=0.\]Mając na uwadze wzór na różnicę sinusów otrzymujemy\[2\cos\left(\frac{3}{4}x+\frac{\pi}{8}\right)\sin\left(-\frac{1}{4}x+\frac{\pi}{8}\right)=0.\]Stąd już prosta droga do alternatywy \[\cos\left(\frac{3}{4}x+\frac{\pi}{8}\right)=0\quad\text{lub}\quad\sin\left(-\frac{1}{4}x+\frac{\pi}{8}\right)=0.\]
Tak więc pierwsza seria rozwiązań to\[\frac{3}{4}x+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad\text{więc}\quad x=\frac{\pi}{2}+\frac{4}{3}k\pi.\]
Druga seria:\[-\frac{1}{4}x+\frac{\pi}{8}=k\pi\quad\text{więc}\quad x=\frac{\pi}{2}-4k\pi=\frac{\pi}{2}+\frac{4}{3}\cdot(-3k)\pi.\]Ta druga seria zawiera się więc w pierwszej. Ostatecznie\[x=\frac{\pi}{2}+\frac{4}{3}k\pi.\]
Przedstawiony tutaj trick jest dość często stosowany, warto się z nim zapoznać.
UFF! Trudne to dla mnie było. Chodzi oczywiście o wykrycie błędu!
https://www.desmos.com/calculator/9cob9zwgsq
Podnosisz równanie stronami do kwadratu. Masz \(a=b\), więc \(a^2=b^2\), ale stąd nie wynika, że \(a=b\), tylko, że \(|a|=|b|\). Tak więc trzeba jeszcze wykonać sprawdzenie i odpadną nam części obu serii. Bo w Twoim rozwiązaniu nieprawnie coś nam przybyło. Będzie tam trzeba brać tylko \(k\) parzyste, a dla \(k\) nieparzystych równanie nie będzie zachodzić. Będziesz to w stanie sam sprawdzić? Samo rozwiązanie równania kwadratowego jest poprawne.
Biorąc więc w Twoich trzech seriach tylko \(k\) parzyste, czyli zapisując \(4k\pi\) zamiast \(2k\pi\) możesz spróbować zapisać te trzy serie w jednej i powinno się zgodzić. Po prostu zaznacz wszystkie rozwiązania w przedziale powiedzmy \(\langle 0,4\pi\rangle\) i zauważ, że tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli \(4\pi\) będzie za mało, weź \(8\pi\).
Tak więc metoda podnoszenia do kwadratu jest tutaj ryzykowna. Na maturze pogubisz się w tym. Sam nie wiem czy bym się połapał w ograniczonym czasie.
Zawsze więc po podniesieniu stronami do kwadratu albo wiemy, że dwie strony i tak były tych samych znaków i można bezboleśnie powrócić do wyjściowego równania, albo tego nie wiemy i wtedy otrzymamy sprzeczność. Tak więc musisz z tym podnoszeniem do kwadratu bardzo, bardzo uważać.
Proponuję rozwiązać to zadanie w nieco inny sposób: dzieląc przez \(\sqrt{2}\) otrzymamy\[\sin \frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos \frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin x,\]skąd\[\sin \frac{x}{2}\cos\frac{\pi}{4}+\cos \frac{x}{2}\sin\frac{\pi}{4}=\sin x,\]więc\[\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=\sin x\]i dalej\[\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-\sin x=0.\]Mając na uwadze wzór na różnicę sinusów otrzymujemy\[2\cos\left(\frac{3}{4}x+\frac{\pi}{8}\right)\sin\left(-\frac{1}{4}x+\frac{\pi}{8}\right)=0.\]Stąd już prosta droga do alternatywy \[\cos\left(\frac{3}{4}x+\frac{\pi}{8}\right)=0\quad\text{lub}\quad\sin\left(-\frac{1}{4}x+\frac{\pi}{8}\right)=0.\]
Tak więc pierwsza seria rozwiązań to\[\frac{3}{4}x+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad\text{więc}\quad x=\frac{\pi}{2}+\frac{4}{3}k\pi.\]
Druga seria:\[-\frac{1}{4}x+\frac{\pi}{8}=k\pi\quad\text{więc}\quad x=\frac{\pi}{2}-4k\pi=\frac{\pi}{2}+\frac{4}{3}\cdot(-3k)\pi.\]Ta druga seria zawiera się więc w pierwszej. Ostatecznie\[x=\frac{\pi}{2}+\frac{4}{3}k\pi.\]
Przedstawiony tutaj trick jest dość często stosowany, warto się z nim zapoznać.
UFF! Trudne to dla mnie było. Chodzi oczywiście o wykrycie błędu!
Re: Zadanie trygonometria
Bardzo dziękuję za odpowiedź. Podejrzewałem, że problem polega na zaliczaniu dodatkowych rozwiązań, które są uzyskiwane poprzez podnoszenie do kwadratu, aczkolwiek nie umiałem ich znaleźć.