Indukcja matematyczna a nierówność
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Indukcja matematyczna a nierówność
Dzień Dobry
Mam problem z tą indukcją matematyczną:
\(k^2 \cdot 2^k\ge k^2+k-2\)
Bo jak robiłem indukcję matematyczne gdzie po jednej ze stron nierówności była tylko jedna liczba to było proste np
\(2n+1<2^n\)
Mamy tezę:
\(2(n+1)+1<2^{n+1}\)
ale jak pomnożymy z założenia \(2n+1<2^n\) przez 2 dwie strony to uzyskujemy \(4n+2<2^{n+1}\)
I resztę dowodu robimy na nierówności \(4n+2>2(n+1)+1\)
ale w tej nierówności \(k^2 \cdot 2^k\ge k^2+k-2\) nie widzę przez co mam pomnożyć tezę aby otrzymać po któreś ze stron to samo co w dowodzie tej tezy \((k+1)^2 \cdot 2^{k+1}\ge (k+1)^2+k+1-2\)
Mam problem z tą indukcją matematyczną:
\(k^2 \cdot 2^k\ge k^2+k-2\)
Bo jak robiłem indukcję matematyczne gdzie po jednej ze stron nierówności była tylko jedna liczba to było proste np
\(2n+1<2^n\)
Mamy tezę:
\(2(n+1)+1<2^{n+1}\)
ale jak pomnożymy z założenia \(2n+1<2^n\) przez 2 dwie strony to uzyskujemy \(4n+2<2^{n+1}\)
I resztę dowodu robimy na nierówności \(4n+2>2(n+1)+1\)
ale w tej nierówności \(k^2 \cdot 2^k\ge k^2+k-2\) nie widzę przez co mam pomnożyć tezę aby otrzymać po któreś ze stron to samo co w dowodzie tej tezy \((k+1)^2 \cdot 2^{k+1}\ge (k+1)^2+k+1-2\)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3543
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1948 razy
Re: Indukcja matematyczna a nierówność
Może tak:
Założenie jest równoważne:
\(k^2 \cdot 2^k- k^2-k+2\ge0\)
a teza
\((k+1)^2 \cdot 2^{k+1}- (k+1)^2-(k+1)+2\ge0\)
i
\(L_T=2k^2\cdot2^k+4k\cdot2^k+2\cdot2^k-k^2-2k-1-k-1+2=\\ \quad=
2(k^2\cdot2^k-k^2-k+2)+4k\cdot2^k+2\cdot2^k+k(k-1)-4\ge\\ \quad \ge
2\cdot0+4\cdot1\cdot2+2\cdot2+1\cdot0-4=8\ge0=P_T\)
Pozdrawiam
PS. Rachunki sprawdź, liczyłem bez kartki...
Założenie jest równoważne:
\(k^2 \cdot 2^k- k^2-k+2\ge0\)
a teza
\((k+1)^2 \cdot 2^{k+1}- (k+1)^2-(k+1)+2\ge0\)
i
\(L_T=2k^2\cdot2^k+4k\cdot2^k+2\cdot2^k-k^2-2k-1-k-1+2=\\ \quad=
2(k^2\cdot2^k-k^2-k+2)+4k\cdot2^k+2\cdot2^k+k(k-1)-4\ge\\ \quad \ge
2\cdot0+4\cdot1\cdot2+2\cdot2+1\cdot0-4=8\ge0=P_T\)
Pozdrawiam
PS. Rachunki sprawdź, liczyłem bez kartki...
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Indukcja matematyczna a nierówność
Ja też grubo szacowałem, a idzie to tak:
- \((k+1)^22^{k+1}=2 \left[ (k+1)^22^k\right]=(k+1)^22^k+ (k+1)^22^k\ge k^22^k+2(k+1)\ge k^2+k-2+2k+2=\\ =(k^2+2k+1)+k+1-2=(k+1)^2+(k+1)-2\)
Re: Indukcja matematyczna a nierówność
To już wydaje się się bardziej logiczne aby przenieś po prostu z tezy wszystko na jedną stronęJerry pisze: ↑06 gru 2021, 00:21 Może tak:
Założenie jest równoważne:
\(k^2 \cdot 2^k- k^2-k+2\ge0\)
a teza
\((k+1)^2 \cdot 2^{k+1}- (k+1)^2-(k+1)+2\ge0\)
i
\(L_T=2k^2\cdot2^k+4k\cdot2^k+2\cdot2^k-k^2-2k-1-k-1+2=\\ \quad=
2(k^2\cdot2^k-k^2-k+2)+4k\cdot2^k+2\cdot2^k+k(k-1)-4\ge\\ \quad \ge
2\cdot0+4\cdot1\cdot2+2\cdot2+1\cdot0-4=8\ge0=P_T\)
Pozdrawiam
PS. Rachunki sprawdź, liczyłem bez kartki...
A mam jeszcze jedno pytanie jak zrobić? \(4^n+3 \ge n^2\)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3543
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1948 razy
Re: Indukcja matematyczna a nierówność
I po "mojemu":
\(L_T=4^{n+1}-(n+1)^2+3=2\cdot4^n+2(4^n-n^2+3)+(n-1)^2-5\ge 2\cdot4+0+0-5=3\ge0=P_T\)
Pozdrawiam
Re: Indukcja matematyczna a nierówność
chodzi mi o ten fragment \(4 \cdot 4^n+3\ge 4n^2+3\) po prawej stronie dodanie tego +3
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Indukcja matematyczna a nierówność
To jest pomyłka. Tutaj jest poprawne oszacowanie (znowu bardzo grube: \(2\cdot4^n>1 \) i \(4^n>2n\) )
\(4^{n+1}+3=4\cdot4^n+3=3\cdot4^n+(4^n+3)\ge 3\cdot4^n+n^2=2\cdot4^n+4^n+n^2\ge 1+2n+n^2=(n+1)^2\)
Usunę tamten post, żeby nie wprowadzać w błąd)
Re: Indukcja matematyczna a nierówność
A czy można \(4^{n+1}+3\) rozpisać tak?:
\(4^{n+1}+3=4\cdot(4^n+3)-12=\) założenie i w miejsce nawiasu wstawiamy \(= 4\cdot(n^2)+3\ge(n+1)^2\)
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Indukcja matematyczna a nierówność
Nie, bo wykorzystując założenie, dostajemy \(4\cdot(4^n+3)-12\ge 4n^2-12\), a to już nie zawsze jest większe od \((n+1)^2\) (dopiero od \(n\ge3\))
- Jerry
- Expert
- Posty: 3543
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1948 razy
Re: Indukcja matematyczna a nierówność
Tak ale to dalej jest dla mnie trochę nie zrozumiałe (jakieś te trudniejsze są indukcję matematyczne niektóre), ALE mam pytanie czy wtedy \(4^n+3>n^2\) zapisać jako \( \iff 4^n>n^2 - 3\)? Bo szukałem odpowiedzi w internecie i ktoś mi doradził po prostu aby przenieść tą trójkę na prawą stronę i wtedy tą nierówność \(4^n>n^2 - 3\) potrafię bez problemu rozwiązać. Tylko nie jestem pewien czy tak można robić, bo jakby to była zwykła nierówność to okej można sobie przenieść wyrażenie na drugą stronę, ale czy taką swobodę mamy także w indukcji matematycznej?
- Jerry
- Expert
- Posty: 3543
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1948 razy