oblicz granicę ciągu 2
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 139
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 589 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: oblicz granicę ciągu 2
Jestem w niedoczasie, zatem hint: zauważ, że sumę tych ułamków można zapisać jako sumę \({1+n\over2}\cdot n\) ułamków o licznikach równych \(1\). Wśród nich najmniejszy jest ostatni a największy - pierwszy... i dalej z tw. o trzech ciągach
Pozdrawiam
Pozdrawiam
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: oblicz granicę ciągu 2
@Jerry miał na myśli (chyba), coś takiego:anilewe_MM pisze: ↑13 gru 2021, 16:44 \(a_n=\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\frac{3}{n^2+3}+...+\frac{n}{n^2+n}\)
\[ \frac{1+2+\ldots+n}{n^2+n}\le a_n \le \frac{1+2+\ldots +n}{n^2+1} \]
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: oblicz granicę ciągu 2
Nie do końca, wyświetliło mi się
\(a_n={1\over n^2+1}+\underbrace{{1\over n^2+2}+{1\over n^2+2}}_{2\text{ ułamki}}+\ldots+\underbrace{{1\over n^2+n}+\ldots+{1\over n^2+n}}_{n\text{ ułamków}}\)
i ułamków jest
\(1+2+\ldots+n={1+n\over2}\cdot n={n+n^2\over2}\)
Zatem
\({n+n^2\over2}\cdot{1\over n^2+n}\le a_n\le \cdot{n+n^2\over2}\cdot{1\over n^2+1}\)
co jest równoważne z zapisem panb
Tak, czy inaczej
$$\Limn a_n={1\over2}$$
Pozdrawiam
\(a_n={1\over n^2+1}+\underbrace{{1\over n^2+2}+{1\over n^2+2}}_{2\text{ ułamki}}+\ldots+\underbrace{{1\over n^2+n}+\ldots+{1\over n^2+n}}_{n\text{ ułamków}}\)
i ułamków jest
\(1+2+\ldots+n={1+n\over2}\cdot n={n+n^2\over2}\)
Zatem
\({n+n^2\over2}\cdot{1\over n^2+n}\le a_n\le \cdot{n+n^2\over2}\cdot{1\over n^2+1}\)
co jest równoważne z zapisem panb
Tak, czy inaczej
$$\Limn a_n={1\over2}$$
Pozdrawiam