Cześć, mam takie oto zadanie:
wyznacz wartość \(a\), dla którego każdy \(x\in \rr \) spełnia nierówność \(x^2 +6|x-2a|-4a^2 \geqslant 0\)
Próbowałem je rozwiązać i wyszło mi tak, jak w odpowiedziach, że \(a =-\frac{3}{2}\) lub \(a =\frac{3}{2}\).
Jednak zabrakło mi założeń co do zakresu \(a\), w obrębie konkretnych przypadków. Dlatego chciałbym dopytać skąd się one biorą, bo jakoś nie mogę do tego dojść samemu. Poniżej dodaje zdjęcie mojego rozwiązania, oraz zdjęcie kryteriów do tego zadania.
viGor027 pisze: ↑27 paź 2021, 16:21
.. i wyszło mi tak, jak w odpowiedziach, że \(a =-\frac{3}{2}\) lub \(a =\frac{3}{2}\).
Przecież odpowiedź jest inna. A Twoje rozwiązanie wynikające z ujemności wyróżników jest niepoprawne - one zawsze są nieujemne
viGor027 pisze: ↑27 paź 2021, 16:21
... zabrakło mi założeń co do zakresu \(a\), w obrębie konkretnych przypadków. ...
Nierówność powinna być tożsamościowa w przedziałach określoności, czyli
A) \(\forall _{x<2a}x^2-6x+12a−4a^2\ge0\) \((x-2a)(x+2a)-6(x-2a)\ge0\\
(x-2a)(x+2a-6)\ge0\)
Ponieważ \(x_1=2a,\ x_2=6-2a\) i nierówność ma być prawdziwa dla \(x<2a\), to musi (zrób rysunek) \(x_1\le x_2\). Zatem \(2a\le 6-2a\\ a\le {3\over2}\)
Analogicznie
B) \(\forall _{x\ge2a}x^2+6x-12a−4a^2\ge0\)
i odpowiedź jako część wspólna odpowiedzi w podpunktach
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 27 paź 2021, 21:53 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Poprawa redakcji rozwiązania
Jerry pisze: ↑27 paź 2021, 20:31
...
i odpowiedź jako część wspólna odpowiedzi w podpunktach
...
Czemu jako część wspólna w tym przypadku?
Gdyby była to suma to \(a\) mogłoby być każdą liczbą rzeczywistą, co było by bez sensu przez wzgląd na polecenie, jednak przy nierównościach z wart.bezw. zawsze idąc na przypadki ( rozwiązując) sumowało się potem rozwiązania dla danych przedziałów.
Jeszcze gdybyś mógł wytłumaczyć skąd się bierze ta nierówność między m.zer., to byłbym wdzięczny, bo jakoś nie mogę do tego dojść...
