równanie trygonometryczne

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
anilewe_MM
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
Podziękowania: 19 razy
Płeć:

równanie trygonometryczne

Post autor: anilewe_MM » 13 paź 2021, 14:00

Rozwiąż równanie
\(\sin^{2021} x+\cos^{2021} x = 1\)

2021 powinno być w wykładniku, ale nie wiem jak to zapisać


Edit: poprawiono zapis
Kacper218

Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 140 razy
Płeć:

Re: równanie trygonometryczne

Post autor: Icanseepeace » 13 paź 2021, 16:13

Możemy założyć: \( \sin x \geq 0 \wedge \cos x \geq 0 \) ponieważ w przeciwnym przypadku równanie jest sprzeczne(uzasadnienie głównie opiera się na zbiorze wartości funkcji \( \sin x \) oraz \( \cos x \), więc zostawiam je jako ćwiczenie.)
Dla \( x \in [0,1] \) mamy następującą nierówność: \( x^n \leq x^2 \) dla \( n > 2 \).
Przy czym równośc zachodzi tylko gdy \( x = 0 \vee x = 1 \). Dlatego:
\( \sin ^n x + \cos ^n x \leq \sin ^2x + \cos ^2x = 1 \) dla dowolnego \( n > 2 \) przy czym równość zajdzie gdy:
\( (\sin x = 1 \wedge \cos x = 0) \vee (\cos x = 1 \wedge \sin x = 1) \) (dwa pozostałe przypadki nie spełniają jedynki trygonometrycznej, więc je pomijam).
W tym zadaniu wystarczy wybrać \( n = 2021 \).

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1569
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 728 razy

Re: równanie trygonometryczne

Post autor: Jerry » 13 paź 2021, 18:08

Albo:
\(\sin^{2021} x+\cos^{2021} x = 1\)
w \(D=\rr\) jest równoważne
\(\sin^{2021} x+\cos^{2021} x = \cos^2x+\sin^2x\\
\sin^2x(1-\sin^{2019}x)+\cos^2x(1-\cos^{2019}x)=0\)

Lewa strona jest sumą iloczynów nieujemnych czynników, zatem, aby zaszła równość, musi
\( \begin{cases}\sin^2x(1-\sin^{2019}x)=0\\ \cos^2x(1-\cos^{2019}x)=0 \end{cases} \\
\begin{cases}\sin^2x=0\\ \cos^2x=0 \end{cases} \vee \begin{cases}\sin^2x=0\\ 1-\cos^{2019}x=0 \end{cases}\vee \begin{cases}1-\sin^{2019}x=0\\ \cos^2x=0 \end{cases} \vee\begin{cases}1-\sin^{2019}x=0\\ 1-\cos^{2019}x=0 \end{cases}\\
x\in\emptyset\vee \cos x=1\vee \sin x=1\vee x\in\emptyset\)

i do odpowiedzi blisko...

Pozdrawiam
PS.
Icanseepeace pisze:
13 paź 2021, 16:13
...\( (\sin x = 1 \wedge \cos x = 0) \vee (\cos x = 1 \wedge \sin x = 1) \) ...
Bad click, powinno być
\( (\sin x = 1 \wedge \cos x = 0) \vee (\cos x = 1 \wedge \sin x = \color{red}{0}) \)
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

anilewe_MM
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
Podziękowania: 19 razy
Płeć:

Re: równanie trygonometryczne

Post autor: anilewe_MM » 13 paź 2021, 20:10

Dziękuję, zrozumiałam i skończe. To dla każdego n będzie tak samo?

Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 250
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 140 razy
Płeć:

Re: równanie trygonometryczne

Post autor: Icanseepeace » 13 paź 2021, 20:50

Jerry pisze:
13 paź 2021, 18:08
PS.
Icanseepeace pisze:
13 paź 2021, 16:13
...\( (\sin x = 1 \wedge \cos x = 0) \vee (\cos x = 1 \wedge \sin x = 1) \) ...
Bad click, powinno być
\( (\sin x = 1 \wedge \cos x = 0) \vee (\cos x = 1 \wedge \sin x = \color{red}{0}) \)
Racja. Nie zauważyłem tego. Mój błąd.
anilewe_MM pisze:
13 paź 2021, 20:10
Dziękuję, zrozumiałam i skończe. To dla każdego n będzie tak samo?
Dla nieparzystego tak, ale dla parzystego wnioskowanie:
Icanseepeace pisze:
13 paź 2021, 16:13
Możemy założyć: \( \sin x \geq 0 \wedge \cos x \geq 0 \) ponieważ w przeciwnym przypadku równanie jest sprzeczne(uzasadnienie głównie opiera się na zbiorze wartości funkcji \( \sin x \) oraz \( \cos x \), więc zostawiam je jako ćwiczenie.)
nie jest poprawne, więc tutaj należy trochę uzasadnienie rozszerzyć (na przykład skorzystać z parzystości funkcji)

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1569
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 728 razy

Re: równanie trygonometryczne

Post autor: Jerry » 14 paź 2021, 00:20

anilewe_MM pisze:
13 paź 2021, 20:10
... dla każdego n będzie tak samo?
Dla \(n=1\) postępujemy tak, jak w moim drugim poście wątku https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=32&t=95504
Dla \(n=2\) równanie jest tożsamościowe
Dla \(n\ge3\) nieparzystych - pisał już Icanseepeace
Dla \(n\ge4\) parzystych w moim rozwiązaniu pojawia się różnica w ostatnim wierszu (zapiszę przykładowo dla \(n=6\))
\(\ldots\\ \begin{cases}\sin^2x=0\\ \cos^2x=0 \end{cases} \vee \begin{cases}\sin^2x=0\\ 1-\cos^{4}x=0 \end{cases}\vee \begin{cases}1-\sin^{4}x=0\\ \cos^2x=0 \end{cases} \vee\begin{cases}1-\sin^{4}x=0\\ 1-\cos^{4}x=0 \end{cases}\\
x\in\emptyset\vee \color{blue}{\sin x=0}\vee \color{blue}{\cos x=0}\vee x\in\emptyset\)


Zauważ, że patent (w wersji mieszanej) działa również w przypadku np. \(\sin^7x+\cos^8x=1\)

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .