równanie trygonometryczne

[puxux]

Rozwiąż równania w przedziale \(<-\pi, 2\pi>\)

1. \(\cos x = \cos \frac{11\pi}{5} \)
2. \(\sin (-x) = \sin \frac{8\pi}{7}\)

czy mógłbym prosić o wytłumaczenie tego zadania krok po kroku?

[eresh]

Rozwiąż równania w przedziale \(<-\pi, 2\pi>\)

1. \(\cos x = \cos \frac{11\pi}{5} \)

czy mógłbym prosić o wytłumaczenie tego zadania krok po kroku?

\(\cos x=\cos\alpha\\
x=\alpha+2k\pi\;\;\; \vee\;\;\;x=-\alpha+2k\pi, k\in\mathbb{C} \)

\(\cos x = \cos \frac{11\pi}{5} \\
x=\frac{11\pi}{5}+2k\pi\;\;\;\vee\;\;\;x=-\frac{11\pi}{5}+2k\pi\)

teraz wybieramy rozwiązania należące do podanego przedziału:
\(x=\frac{11\pi}{2}\\
x=-\frac{\pi}{5}\\
x=\frac{9\pi}{5}\)

[puxux]

teraz wybieramy rozwiązania należące do podanego przedziału:
\(x=\frac{11\pi}{2}\\
x=-\frac{\pi}{5}\\
x=\frac{9\pi}{5}\)

właśnie tej części nie rozumiem, w jaki sposób je znajdujemy?

[eresh]

teraz wybieramy rozwiązania należące do podanego przedziału:
\(x=\frac{11\pi}{2}\\
x=-\frac{\pi}{5}\\
x=\frac{9\pi}{5}\)

właśnie tej części nie rozumiem, w jaki sposób je znajdujemy?

podstawiając za k liczby całkowite:

dla \(k=0\):
\(x=\frac{11\pi}{5}+2\cdot 0\pi=\frac{11\pi}{5}\in [-\pi, 2\pi]\\
x=-\frac{11\pi}{5}+2\cdot 0\pi=-\frac{11\pi}{5}\notin [-\pi, 2\pi]
\)

dla \(k=1\):
\(x=\frac{11\pi}{5}+2\cdot 1\pi=\frac{21\pi}{5}\notin [-\pi, 2\pi]\\
x=-\frac{11\pi}{5}+2\cdot 1\pi=-\frac{\pi}{5}\in [-\pi, 2\pi]\)

i tak dalej (oczywiście ujemne wartości też)

[eresh]

Rozwiąż równania w przedziale \(<-\pi, 2\pi>\)


2. \(\sin (-x) = \sin \frac{8\pi}{7}\)

czy mógłbym prosić o wytłumaczenie tego zadania krok po kroku?

\(\sin (-x)=\sin (\pi+\frac{\pi}{7})\\
-\sin x=-\sin \frac{\pi}{7}\\
\sin x=\sin\frac{\pi}{7}\\
x=\frac{\pi}{7}+2k\pi\;\;\;\wedge\;\;\;x=\pi-\frac{\pi}{7}+2k\pi=\frac{6\pi}{7}+2k\pi\;\;k\in\mathbb{C}\)

do podanego przedziału należą:
\(x=\frac{\pi}{7}\\
x=\frac{6\pi}{7}\\
\)