współrzędne całkowite
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
inter
- Często tu bywam
- Posty: 180
- Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
- Podziękowania: 15 razy
- Otrzymane podziękowania: 5 razy
współrzędne całkowite
W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych dane są dwa punkty A i B o współrzędnych całkowitych takie że \(\angle AOB = 45^o\), gdzie O jest początkiem układu. Udowodnij, że przynajmniej jedna z czterech współrzędnych punktów A i B jest liczbą parzystą.
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: współrzędne całkowite
Szkic:
Niech \(A(p,q)\) oraz \(B(r,s).\) Z cosinusa kąta między wektorami \(OA\) i \(OB\) wnosimy \(2(pr+qs)^2=(p^2+q^2)(r^2+s^2).\) Gdyby wszystkie liczby \(p,q,r,s\) były nieparzyste, to po lewej stronie \(pr+qs\) jest liczbą parzystą, a zatem w rozkładzie lewej strony na czynniki są co najmniej trzy dwójki, więc lewa strona jest podzielna przez 8. Zbadajmy jak jest z podzielnością przez 8 prawej strony. Wychodzi mi, że resztą z dzielenia przez 8 będzie 4. Dlaczego? Jeśli liczba \(n\) jest nieparzysta, to możliwe reszty z jej dzielenia przez 8 to 1,3,5,7 i po podniesieniu do kwadratu, liczba \(n^2\) daje zawsze resztę 1. Tak więc powyższa równość nie jest możliwa.
Uzupełnij wszystkie brakujące szczegóły. Wyszło na to, że nie korzystałem z tego, że punkty A,B leżą w pierwszej ćwiartce. Jeśli nie pomyliłem się w rozumowaniu, to teza zachodzi dla dowolnych punktów \(A,B\) o współrzędnych całkowitych.
Niech \(A(p,q)\) oraz \(B(r,s).\) Z cosinusa kąta między wektorami \(OA\) i \(OB\) wnosimy \(2(pr+qs)^2=(p^2+q^2)(r^2+s^2).\) Gdyby wszystkie liczby \(p,q,r,s\) były nieparzyste, to po lewej stronie \(pr+qs\) jest liczbą parzystą, a zatem w rozkładzie lewej strony na czynniki są co najmniej trzy dwójki, więc lewa strona jest podzielna przez 8. Zbadajmy jak jest z podzielnością przez 8 prawej strony. Wychodzi mi, że resztą z dzielenia przez 8 będzie 4. Dlaczego? Jeśli liczba \(n\) jest nieparzysta, to możliwe reszty z jej dzielenia przez 8 to 1,3,5,7 i po podniesieniu do kwadratu, liczba \(n^2\) daje zawsze resztę 1. Tak więc powyższa równość nie jest możliwa.
Uzupełnij wszystkie brakujące szczegóły. Wyszło na to, że nie korzystałem z tego, że punkty A,B leżą w pierwszej ćwiartce. Jeśli nie pomyliłem się w rozumowaniu, to teza zachodzi dla dowolnych punktów \(A,B\) o współrzędnych całkowitych.