1)Na okręgu o promieniu r=3 pierwiastki z 3 opisano trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku 120 stopni. Oblicz długości boków tego trójkąta.
2) W okrąg o promieniu 5cm wpisano trójkąt równoramienny. Oblicz długości boków tego trójkąta, jeśli kąt przy wierzchołku ma miarę 120 stopni.
3)Dany jest trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 6cm. Oblicz pole trójkąta, jeśli
a) promień okręgu wpisanego w trójkąt jest równy 2cm
b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 4cm.
4) Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy 12,5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 3. Oblicz pole tego trójkąta.
Trójkąt i okrąg
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
Narysuj trójkąt równoramienny o kącie między ramionami \(120^o\). Nazwij go ABC, gdzie AB to podstawa. Wtedy \(| \angle ABC|=| \angle BAC|=30^o\).
W trójkącie tym narysuj wysokość CD opuszczoną na podstawę. Środek okręgu- punkt O- wpisanego w ten trójkąt leży na CD. Narysuj promienie okręgu OE i OF, gdzie E leży na boku BC, F leży na boku AC.
Trójkąt OEC jest trójkątem prostokątnym, w którym \(| \angle OEC|=90^o,\ | \angle OCE|=60^o,\ |OE|=3\sqrt{3}\)
\(\frac{|OE|}{|OC|}=sin60^o\\\frac{3\sqrt{3}}{|OC|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\|OC|=\frac{3}{2}\)
\(|CD|=|OD|+|OC|\\|CD|=3\sqrt{3}+\frac{3}{2}=\frac{3(1+2\sqrt{3})}{2}\)
W trójkącie BCD:
\(\frac{|BD|}{|CD|}=ctg30^o\\\frac{|BD|}{\frac{3(1+2\sqrt{3})}{2}}=\sqrt{3}\\|BD|=\frac{3\sqrt{3}(1+2\sqrt{3})}{2}\\|BD|=\frac{3\sqrt{3}+18}{2}=\frac{3(\sqrt{3}+6)}{2}\)
\(\frac{|CD|}{|BC|}=sin30^o\\\frac{\frac{3(1+2\sqrt{3}}{2}}{|BC|}=\frac{1}{2}\\|BC|=3(1+2\sqrt{3})\)
\(|AB|=2|BD|\\|AB|=3(\sqrt{3}+6)\)
Długości boków trójkąta:
\(|AB|=3(\sqrt{3}+6),\ \ |BC|=|AC|=3(1+2\sqrt{3})\)
Narysuj trójkąt równoramienny o kącie między ramionami \(120^o\). Nazwij go ABC, gdzie AB to podstawa. Wtedy \(| \angle ABC|=| \angle BAC|=30^o\).
W trójkącie tym narysuj wysokość CD opuszczoną na podstawę. Środek okręgu- punkt O- wpisanego w ten trójkąt leży na CD. Narysuj promienie okręgu OE i OF, gdzie E leży na boku BC, F leży na boku AC.
Trójkąt OEC jest trójkątem prostokątnym, w którym \(| \angle OEC|=90^o,\ | \angle OCE|=60^o,\ |OE|=3\sqrt{3}\)
\(\frac{|OE|}{|OC|}=sin60^o\\\frac{3\sqrt{3}}{|OC|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\|OC|=\frac{3}{2}\)
\(|CD|=|OD|+|OC|\\|CD|=3\sqrt{3}+\frac{3}{2}=\frac{3(1+2\sqrt{3})}{2}\)
W trójkącie BCD:
\(\frac{|BD|}{|CD|}=ctg30^o\\\frac{|BD|}{\frac{3(1+2\sqrt{3})}{2}}=\sqrt{3}\\|BD|=\frac{3\sqrt{3}(1+2\sqrt{3})}{2}\\|BD|=\frac{3\sqrt{3}+18}{2}=\frac{3(\sqrt{3}+6)}{2}\)
\(\frac{|CD|}{|BC|}=sin30^o\\\frac{\frac{3(1+2\sqrt{3}}{2}}{|BC|}=\frac{1}{2}\\|BC|=3(1+2\sqrt{3})\)
\(|AB|=2|BD|\\|AB|=3(\sqrt{3}+6)\)
Długości boków trójkąta:
\(|AB|=3(\sqrt{3}+6),\ \ |BC|=|AC|=3(1+2\sqrt{3})\)
2.
Narysuj okrąg o promieniu 5cm. Wpisz w ten okrąg trójkąt równoramienny o kącie między ramionami \(120^o\). Środek okręgu- punkt O- leży poza trójkątem. Nazwij trójkąt ABC, gdzie AB to podstawa. OB i OC to promienie okręgu, przy czym OC dzieli bok AB na połowy, zawiera więc wysokość trójkąta CD, opuszczoną na podstawę. \(| \angle OCB|=\frac{1}{2}| \angle ACB|=60^o\). Trójkąt OCB jest trójkątem równoramiennym o kącie \(60^o\), czyli jest trójkątem równobocznym. Stąd \(|BC|=|OB|=5cm\). Odcinek BD jest wysokością w trójkącie OBC, wię \(|BD|=\frac{5\sqrt{3}}{2}cm\). Czyli:
\(|AB|=2|BD|\\|AB|=5\sqrt{3}cm\).
Długości boków trójkąta ABC: \(|AB|=5\sqrt{3}cm,\ \ |BC|=|AC|=5cm\)
Narysuj okrąg o promieniu 5cm. Wpisz w ten okrąg trójkąt równoramienny o kącie między ramionami \(120^o\). Środek okręgu- punkt O- leży poza trójkątem. Nazwij trójkąt ABC, gdzie AB to podstawa. OB i OC to promienie okręgu, przy czym OC dzieli bok AB na połowy, zawiera więc wysokość trójkąta CD, opuszczoną na podstawę. \(| \angle OCB|=\frac{1}{2}| \angle ACB|=60^o\). Trójkąt OCB jest trójkątem równoramiennym o kącie \(60^o\), czyli jest trójkątem równobocznym. Stąd \(|BC|=|OB|=5cm\). Odcinek BD jest wysokością w trójkącie OBC, wię \(|BD|=\frac{5\sqrt{3}}{2}cm\). Czyli:
\(|AB|=2|BD|\\|AB|=5\sqrt{3}cm\).
Długości boków trójkąta ABC: \(|AB|=5\sqrt{3}cm,\ \ |BC|=|AC|=5cm\)
3.
a)
Narysuj trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 6cm. Nazwij ten trójkąt ABC, gdzie AB to przeciwprostokątna, a |BC|=6cm.
Narysuj w tym trójkącie promienie okręgu wpisanego w trójkąt ABC do punktów styczności z bokami: OK- do boku AC, OL- do boku AB, OM- do boku BC.
Z równości odcinków stycznych mamy:
\(|CK|=|CM|=2\\|MB|=|BL|=4\\|AK|=|AL|=k\)
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2\\(2+k)^2+6^2=(4+k)^2\\4+4k+k^2+36=16+8k+k^2\\4k=24\\k=6\)
\(|BC|=6cm,\ \ |AC|=2+6=8cm,\ \ |AB|=4+6=10cm\)
Pole trójkąta ABC:
\(P=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6=24cm^2\)
a)
Narysuj trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 6cm. Nazwij ten trójkąt ABC, gdzie AB to przeciwprostokątna, a |BC|=6cm.
Narysuj w tym trójkącie promienie okręgu wpisanego w trójkąt ABC do punktów styczności z bokami: OK- do boku AC, OL- do boku AB, OM- do boku BC.
Z równości odcinków stycznych mamy:
\(|CK|=|CM|=2\\|MB|=|BL|=4\\|AK|=|AL|=k\)
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2\\(2+k)^2+6^2=(4+k)^2\\4+4k+k^2+36=16+8k+k^2\\4k=24\\k=6\)
\(|BC|=6cm,\ \ |AC|=2+6=8cm,\ \ |AB|=4+6=10cm\)
Pole trójkąta ABC:
\(P=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6=24cm^2\)
3
b)
Średnica okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym równa jest długości przeciwprostokątnej trójkąta. Stąd przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 8cm.
Z twierdzenia Pitagorasa obliczam drugą przyprostokątną:
\(6^2+x^2=8^2\\x^2=28\\x=2\sqrt{7}cm\)
Pole trójkąta:
\(P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2\sqrt{7}=6\sqrt{7}cm^2\)
b)
Średnica okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym równa jest długości przeciwprostokątnej trójkąta. Stąd przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 8cm.
Z twierdzenia Pitagorasa obliczam drugą przyprostokątną:
\(6^2+x^2=8^2\\x^2=28\\x=2\sqrt{7}cm\)
Pole trójkąta:
\(P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2\sqrt{7}=6\sqrt{7}cm^2\)
4.
Przeciwprostokątna ma długość równą średnicy okręgu opisanego, czyli c=25cm.
Suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnicy okręgu opisanego i średnicy okręgu wpisanego w ten trójkąt, czyli a+b=25+6=31cm.
Połowa obwodu tego trójkąta:
\(p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{31+25}{2}=28cm\)
Pole trójkąta:
\(P=p\cdot\ r\\P=28\cdot3=84cm^2\)
Przeciwprostokątna ma długość równą średnicy okręgu opisanego, czyli c=25cm.
Suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnicy okręgu opisanego i średnicy okręgu wpisanego w ten trójkąt, czyli a+b=25+6=31cm.
Połowa obwodu tego trójkąta:
\(p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{31+25}{2}=28cm\)
Pole trójkąta:
\(P=p\cdot\ r\\P=28\cdot3=84cm^2\)