nierówność Schwarza - oszacowanie wyrażenia
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
nierówność Schwarza - oszacowanie wyrażenia
Mam pewien problem z oszacowaniem, mam wyrażenie \( \frac{n^2-n}{2}- \sum_{i=1}^{r-1} \frac{n_i^2-n_i}{2} \) gdzie \(\sum_{i=1}^{r-1} n_i=n\), chciałbym pokazać, że \( \frac{n^2-n}{2}- \sum_{i=1}^{r-1} \frac{n_i^2-n_i}{2} \le \frac{n^2}{2}- \frac{n^2}{2} \cdot \frac{1}{r-1} \). W jaki sposób można to pokazać? Nie potrafię zapisać tych przejść, proszę więc o pomoc i z góry dziękuję.
Ostatnio zmieniony 03 cze 2021, 19:15 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa tematu; okazuj szacunek Hermanowi Schwarzowi, nota bene urodzonemu w Jeleniej Górze!
Powód: poprawa tematu; okazuj szacunek Hermanowi Schwarzowi, nota bene urodzonemu w Jeleniej Górze!
-
Icanseepeace
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: nierówność Schwarza - oszacowanie wyrażenia
Stosujesz nierówność Cauchy’ego-Schwarza dla ciągów:
\( (n_1 , n_2 , ... , n_{r-1}) \\ (1 , 1 , ... , 1) \)
dostając:
\( ( \sum\limits_{k = 1}^{r-1} n_k \cdot 1)^2 \leq (\sum\limits_{k=1}^{r-1}n_k^2) (\sum_\limits{k=1}^{r-1} 1) \)
Poniewaz \( \sum\limits_{k=1}^{r-1}n_k = n \) to:
\( n^2 \leq (\sum\limits_{k=1}^{r-1}(n_k)^2) \cdot (r-1) \)
Równoważnie:
\((1) \ \ \frac{n^2}{r-1} \leq \sum\limits_{k=1}^{r-1} n_k^2 \)
Teraz:
\( L = \frac{n^2 - n}{2} - \sum\limits_{k=1}^{r-1} \frac{n_i^2 - n_i}{2}= \frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} - \sum\limits_{k = 1}^{r-1} \frac{n_i^2}{2} + \sum\limits_{k=1}^{r-1} \frac{n_i}{2} = \frac{n^2}{2} - \sum\limits_{k = 1}^{r-1} \frac{n_i^2}{2} \stackrel{(1)}{\leq} \frac{n^2}{2} - \frac{n^2}{2(r-1)} = P \)
\( (n_1 , n_2 , ... , n_{r-1}) \\ (1 , 1 , ... , 1) \)
dostając:
\( ( \sum\limits_{k = 1}^{r-1} n_k \cdot 1)^2 \leq (\sum\limits_{k=1}^{r-1}n_k^2) (\sum_\limits{k=1}^{r-1} 1) \)
Poniewaz \( \sum\limits_{k=1}^{r-1}n_k = n \) to:
\( n^2 \leq (\sum\limits_{k=1}^{r-1}(n_k)^2) \cdot (r-1) \)
Równoważnie:
\((1) \ \ \frac{n^2}{r-1} \leq \sum\limits_{k=1}^{r-1} n_k^2 \)
Teraz:
\( L = \frac{n^2 - n}{2} - \sum\limits_{k=1}^{r-1} \frac{n_i^2 - n_i}{2}= \frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} - \sum\limits_{k = 1}^{r-1} \frac{n_i^2}{2} + \sum\limits_{k=1}^{r-1} \frac{n_i}{2} = \frac{n^2}{2} - \sum\limits_{k = 1}^{r-1} \frac{n_i^2}{2} \stackrel{(1)}{\leq} \frac{n^2}{2} - \frac{n^2}{2(r-1)} = P \)