Wykaż, że jeśli α , β є (0,π/2), cosα=1/7 i cosβ=13/14 to α-β = π/3
Proszę o pomoc! W ogóle nie wiem jak się za to zabrać...
Trygonometria - wykaż
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(\alpha,\ \beta \in (0;\ \frac{\pi}{2})\\cos\alpha<cos\beta\ \Rightarrow \alpha>\beta\\\alpha-\beta \in (0;\ \frac{\pi}{2}\)
\(cos\alpha=\frac{1}{7}\\sin^2\alpha+\frac{1}{49}=1\\sin^2\alpha=\frac{48}{49}\\sin\alpha=\frac{4\sqrt{3}}{7}\)
\(cos\beta=\frac{13}{14}\\sin^2\beta+\frac{169}{196}=1\\sin^2\beta=\frac{27}{196}\\sin\beta=\frac{3\sqrt{3}}{14}\)
\(cos(\alpha-\beta)=cos\alpha\ cos\beta+sin\alpha\ sin\beta\\cos(\alpha-\beta)=\frac{1}{7}\cdot\frac{13}{14}+\frac{4\sqrt{3}}{7}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{14}=\frac{13+36}{98}=\frac{49}{98}=\frac{1}{2}\\cos(\alpha-\beta)=\frac{1}{2}\ \wedge \alpha-\beta \in (0;\ \frac{\pi}{2}) \Rightarrow \alpha-\beta=\frac{\pi}{3}\)
\(cos\alpha=\frac{1}{7}\\sin^2\alpha+\frac{1}{49}=1\\sin^2\alpha=\frac{48}{49}\\sin\alpha=\frac{4\sqrt{3}}{7}\)
\(cos\beta=\frac{13}{14}\\sin^2\beta+\frac{169}{196}=1\\sin^2\beta=\frac{27}{196}\\sin\beta=\frac{3\sqrt{3}}{14}\)
\(cos(\alpha-\beta)=cos\alpha\ cos\beta+sin\alpha\ sin\beta\\cos(\alpha-\beta)=\frac{1}{7}\cdot\frac{13}{14}+\frac{4\sqrt{3}}{7}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{14}=\frac{13+36}{98}=\frac{49}{98}=\frac{1}{2}\\cos(\alpha-\beta)=\frac{1}{2}\ \wedge \alpha-\beta \in (0;\ \frac{\pi}{2}) \Rightarrow \alpha-\beta=\frac{\pi}{3}\)