Równanie różniczkowe III rzędu.

[zealot_93]

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego równania różniczkowego III rzędu:
\(y'''+6y''+11y'+6y=6u\)

[panb]

Czy \(y=y(u)\)? Co to jest to \(u\)?

[zealot_93]

To jest zadanie z automatyki, gdzie u jest dodatkową zmienną obrazującą napięcie, zapomniałem dodać, że warunki początkowe są zerowe, a wyjściowym sygnałem jest y. Sory ze tego nie dopisałem. Jak jesteście w stanie mi pomóc to fajnie...

[panb]

Ale y jest funkcją czego? jakiegoś iksa, u, ...?
Jeśli mi wyjdzie rozwiązanie, to mam je zapisać jako y=2x, czy y=2u? Rozumiesz.

[zealot_93]

y jest funkcja x, a u to odrebna zmienna, bo potem mam to równanie przedstawić w postaci macierzowej; zapisać y = 2x

[panb]

Dobra, a czy to u to też zależy od iksa, czy można traktować jak stałą względem iksa?

[zealot_93]

Jako stałą względem iksa

[panb]

ok, to zrobię. Daj mi chwilę.

[zealot_93]

ok dzięki wielkie

[panb]

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego równania różniczkowego III rzędu:
\(y'''+6y''+11y'+6y=6u\)

Wielomian charakterystyczny ma postać: \(\lambda^3+6\lambda^2+11\lambda+6=0 \iff (\lambda+1)(\lambda+2)(\lambda+3)=0 \iff \lambda_1=-1, \,\, \lambda_2=-2,\,\, \lambda_3=-3\), więc rozwiązaniem równania jednorodnego \(y'''+6y''+11y'+6y=0\) jest \[y=Ae^{-x}+Be^{-2x}+C^{-3x}\]
Ponieważ po prawej stronie stoi wielkość niezależna od iksa - funkcja stała, więc przewidujemy rozwiązanie szczegółowe
\(y_s=D \So y'=y''=y'''=0\) i równanie wygląda tak: \(6D=6u \So D=u\). Teraz możemy zapisać rozwiązanie ogólne
\[y=Ae^{-x}+Be^{-2x}+C^{-3x}+u\]

Warunki początkowe to już samodzielnie.

[zealot_93]

ok dzieki za pomoc