Równanie różniczkowe III rzędu.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Równanie różniczkowe III rzędu.
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego równania różniczkowego III rzędu:
\(y'''+6y''+11y'+6y=6u\)
\(y'''+6y''+11y'+6y=6u\)
Ostatnio zmieniony 21 maja 2021, 08:25 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości; nie kombinuj z wielkością fontów, pisz w kodzie!
Powód: poprawa wiadomości; nie kombinuj z wielkością fontów, pisz w kodzie!
Re: Równanie różniczkowe III rzędu.
To jest zadanie z automatyki, gdzie u jest dodatkową zmienną obrazującą napięcie, zapomniałem dodać, że warunki początkowe są zerowe, a wyjściowym sygnałem jest y. Sory ze tego nie dopisałem. Jak jesteście w stanie mi pomóc to fajnie...
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Równanie różniczkowe III rzędu.
Ale y jest funkcją czego? jakiegoś iksa, u, ...?
Jeśli mi wyjdzie rozwiązanie, to mam je zapisać jako y=2x, czy y=2u? Rozumiesz.
Jeśli mi wyjdzie rozwiązanie, to mam je zapisać jako y=2x, czy y=2u? Rozumiesz.
Re: Równanie różniczkowe III rzędu.
y jest funkcja x, a u to odrebna zmienna, bo potem mam to równanie przedstawić w postaci macierzowej; zapisać y = 2x
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Równanie różniczkowe III rzędu.
Wielomian charakterystyczny ma postać: \(\lambda^3+6\lambda^2+11\lambda+6=0 \iff (\lambda+1)(\lambda+2)(\lambda+3)=0 \iff \lambda_1=-1, \,\, \lambda_2=-2,\,\, \lambda_3=-3\), więc rozwiązaniem równania jednorodnego \(y'''+6y''+11y'+6y=0\) jest \[y=Ae^{-x}+Be^{-2x}+C^{-3x}\]
Ponieważ po prawej stronie stoi wielkość niezależna od iksa - funkcja stała, więc przewidujemy rozwiązanie szczegółowe
\(y_s=D \So y'=y''=y'''=0\) i równanie wygląda tak: \(6D=6u \So D=u\). Teraz możemy zapisać rozwiązanie ogólne
\[y=Ae^{-x}+Be^{-2x}+C^{-3x}+u\]
Warunki początkowe to już samodzielnie.