Znajdź równanie ogólne tego rówania:
\(y"-8y'+16y=3e^{4x}\)
Równanie różniczkowe liniowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Równanie różniczkowe liniowe
\(r^2-8r+16=0 \iff (r-4)^2=0 \iff r=4\), więc rozwiązaniem jednorodnego równania jest \(y_0=Axe^{4x}+Be^{4x}\)
Metoda przewidywania. Ponieważ po prawej stronie jest też \(e^{4x}\), a czwórka jest pierwiastkiem dwukrotnym, więc przewidujemy, że rozwiązaniem równania jest \(y=y_0+y_s\), gdzie \(y_s=Cx^2e^{4x}\).
\(y_s'=4x^2Ce^{4x}+2xCe^{4x}, \,\, y_s''=16x^2Ce^{4x}+16xCe^{4x}+2Ce^{4x} \text{ więc } y_s''-8y_s'+16y_s=3e^{4x} \text{ przyjmuje postać }\\16x^2Ce^{4x}+16xCe^{4x}+2Ce^{4x}-8(4x^2Ce^{4x}+2xCe^{4x})+16\cdot Cx^2e^{4x}=3e^{4x}\\
2C=3 \iff C= \frac{3}{2} \).
Ostatecznie
Odpowiedź: Rozwiązaniem ogólnym równania \(y''-8y'+16y=3e^{4x}\) jest funkcja \(y=\frac{3}{2}x^2e^{4x}+Axe^{4x}+Be^{4x} \)