Znaleźć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności podanych funkcji

[damian28102000]

Cześć!
Utknąłem na zadaniu:
Znaleźć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności podanych funkcji:
\(f\left(x\right)=e^xsinx\)

Obecna próba:
\(f'\left(x\right)=e^x\left(sinx+cosx\right)=0\: \iff \:sinx+cosx=0\: \iff \:sinx+sin\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=0\: \\\iff \:2sin\left(\frac{4}{x}\right)\cdot cos\left(\frac{\left(2x-\frac{\pi \:}{2}\right)}{2}\right)=0\:\\ \iff \:\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=0\: \iff \:cos\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=?\)

[Icanseepeace]

\( \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \So \cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \So x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \ , \ k \in C \)

[damian28102000]

\( \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \So \cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \So x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \ , \ k \in C \)

Mógłbym prosić o rozwinięcie tego? Dlaczego to jest równe?

[eresh]

\( \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \So \cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \So x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \ , \ k \in C \)

Mógłbym prosić o rozwinięcie tego? Dlaczego to jest równe?

bo \(\cos\alpha=0\iff \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi\) (spójrz na wykres cosinusa)

[damian28102000]

\( \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \So \cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \So x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \ , \ k \in C \)

Mógłbym prosić o rozwinięcie tego? Dlaczego to jest równe?

bo \(\cos\alpha=0\iff \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi\) (spójrz na wykres cosinusa)

Czyli w punkcie \(x=\frac{ \pi }{2}+k \pi \) funkcja ma minimum lokalne równe \(f(\frac{ \pi }{2}+k \pi)\)?

[eresh]

Mógłbym prosić o rozwinięcie tego? Dlaczego to jest równe?

bo \(\cos\alpha=0\iff \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi\) (spójrz na wykres cosinusa)

Czyli w punkcie \(x=\frac{ \pi }{2}+k \pi \) funkcja ma minimum lokalne równe \(f(\frac{ \pi }{2}+k \pi)\)?

czemu w \(\frac{\pi}{2}\)?
pochodna zeruje się w punktach spełniających warunek
\(x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi\\
x=\frac{3\pi}{4}+k\pi
\)
teraz trzeba zbadać znak pochodnej, czyli rozwiązać nierówności \(f'(x)>0,f'(x)<0\)

[Jerry]

Wg mnie
\(\sin x+\cos x=0 \iff \tg x=-1\)

Czyli w punkcie \(x=\frac{ \pi }{2}+k \pi \) funkcja ma minimum lokalne równe \(f(\frac{ \pi }{2}+k \pi)\)?

Po pierwsze w \(-{\pi\over4}+k\pi\), po drugie - proponowałbym drugą pochodną

Pozdrawiam

[damian28102000]

Wg mnie
\(\sin x+\cos x=0 \iff \tg x=-1\)

Czyli w punkcie \(x=\frac{ \pi }{2}+k \pi \) funkcja ma minimum lokalne równe \(f(\frac{ \pi }{2}+k \pi)\)?

Po pierwsze w \(-{\pi\over4}+k\pi\), po drugie - proponowałbym drugą pochodną

Pozdrawiam

Z drugiej pochodnej też da się obliczyć ekstrema i monotoniczności?
Przekazano mi, że druga pochodna służy określaniu wypukłości oraz punktów przegięć.

[eresh]

Z drugiej pochodnej też da się obliczyć ekstrema i monotoniczności?
Przekazano mi, że druga pochodna służy określaniu wypukłości oraz punktów przegięć.

Da się:
https://blog.etrapez.pl/ekstrema-funkcj ... ch-rzedow/

[damian28102000]

bo \(\cos\alpha=0\iff \alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi\) (spójrz na wykres cosinusa)

Czyli w punkcie \(x=\frac{ \pi }{2}+k \pi \) funkcja ma minimum lokalne równe \(f(\frac{ \pi }{2}+k \pi)\)?

czemu w \(\frac{\pi}{2}\)?
pochodna zeruje się w punktach spełniających warunek
\(x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi\\
x=\frac{3\pi}{4}+k\pi
\)
teraz trzeba zbadać znak pochodnej, czyli rozwiązać nierówności \(f'(x)>0,f'(x)<0\)

Czyli funkcja jest rosnąca w przedziale \((-\frac{3}{4}, \infty )\), a malejąca w \(( -\infty,-\frac{3}{4} )\), funkcja ma minimum w \(-\frac{3}{4}\), równe \(f(-\frac{3}{4})\)?

[eresh]

Czyli funkcja jest rosnąca w przedziale \((-\frac{3}{4}, \infty )\), a malejąca w \(( -\infty,-\frac{3}{4} )\), funkcja ma minimum w \(-\frac{3}{4}\), równe \(f(-\frac{3}{4})\)?

Nie. Masz rozwiązać nierówność trygonometryczną, a nie liniową
\(\cos(x-\frac{\pi}{4})>0\So x\in (-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi)\\
\cos(x-\frac{\pi}{4})<0\So x\in (-\frac{5\pi}{4}+2k\pi,\frac{-\pi}{4}+2k\pi)\)

[Jerry]

Ekstrema

\(( \begin{cases}x=-{\pi\over4}+k\color{red}{\cdot2}\pi\\ y_{\min}=f(-{\pi\over4}+k\color{red}{\cdot2}\pi) \end{cases}\vee\begin{cases}x={3\pi\over4}+k\color{red}{\cdot2}\pi\\ y_{\max}=f({3\pi\over4}+k\color{red}{\cdot2}\pi) \end{cases})\wedge k\in\zz \)

Pozdrawiam

[edited] poprawka po poniższym

[eresh]

Ekstrema

\(( \begin{cases}x=-{\pi\over4}+k\pi\\ y_{\min}=f(-{\pi\over4}+k\pi) \end{cases}\vee\begin{cases}x={3\pi\over4}+k\pi\\ y_{\max}=f({3\pi\over4}+k\pi) \end{cases})\wedge k\in\zz \)

Pozdrawiam

Ja bym dodała \(2k\pi\)

[Jerry]

Masz rację!

Dziękuję, pozdrawiam