Liczby x = 1 i x = − 2 są pierwiastkami wielomianu \[ ax^4 + 2x^3 − 3ax^2 + 2ax − 6x + 4\] Wiedząc, że wielomian ten jest kwadratem wielomianu stopnia 2, oblicz a .
Wykonałem je w ten sposób:
Odpowiedź:
1) Posegregowałem wielomian i wyłączyłem (ax+2)
\[ ax^4 + 2x^3 − 3ax^2 − 6x+ 2ax + 4 = x^3(ax+2) - 3x(ax+2)+2(ax+2)= (3x^3-3x+2)(ax+2) \]
2) Następnie podzieliłem pierwszy nawias przez 1, bo jest ono pierwiastkiem wielomianu i otrzymałem
\[ (x-1)(x^2-2x+2)(ax+2) \]
3) Z twierdzenia o reszcie stwierdziłem, że skoro R=W(a) to 0=W(-2), bo -2 jest również pierwiastkiem.
4) Skoro W(-2)=0 to przynajmniej jeden nawias z : \[ (x-1)(x^2-2x+2)(ax+2) \] musi być rowny 0, po podstawieniu -2 do pierwszego uzyskujemy -3, a do drugiego uzyskujemy 10, więc trzeci nawias musi być równy 0
\[ ax+2= 0 \]
\[ -2a+2= 0 \]
czyli a=1