Wyznacz równania okręgu

[Iliasz]

Cięciwa \(AB\) przecina okrąg o promieniu \(\sqrt{90}\) w punktach \(A=(60,12)\) oraz \(B=(66,6)\). Wyznacz wszystkie możliwe równania okręgu.

[Jerry]

Środki okręgów są o \(\sqrt{90}\) odległe od punktów \(A=(60,12)\), \(B=(66,6)\), czyli spełniają układ
\( \begin{cases}(x-60)^2+(y-12)^2=90\\(x-66)^2+(y-6)^2=90 \end{cases} \)

Pozdrawiam

[Galen]

Narysuj okrąg o środku S i dorysuj cięciwę AB.Przez środek P cięciwy AB poprowadź prostą SP prostopadłą do AB.
Dorysuj promienie SA i SB.Poszukiwane środki okręgu będą należeć do prostopadłej i będą symetryczne względem danej cięciwy AB.
Trójkąty SAP i SBP są prostokątne więc |SP| obliczysz z tw.Pitagorasa.
\(|SP|^2=|AS|^2-|AP|^2\\|AS|=\sqrt{90}\\|AB|=\sqrt{6^2+(-6)^2}=6\sqrt{2}\\|AP|=3\sqrt{2}\\|SP|^2=90-18=72\\|SP|=6\sqrt{2}\)
Pozostaje jeszcze ułożenie równania prostej AB,potem prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt P.
\(y=ax+b\\ \begin{cases} 6=66a+b\\12=60a+b\end{cases} \\a=-1\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;b=72\)
Prosta AB ma równanie
\(y=-x+72\)
Prostopadła ma współczynnik kierunkowy 1 i przechodzi przez P(63;9)
Jej równanie \(y=x-54\)
Na tej prostej znajdziesz punkty S1 i S2,które będą środkami szukanych okręgów.
\(|PS_1|=|PS_2|=\sqrt{72}\)
Punkt S leży na prostej o równaniu y=x-54 ,więc Punkt S ma współrzędne \((x;x-54)\)
\(\sqrt{(x-63)^2+(y-9)^2}=\sqrt{72}\;\;\;\;i\;\;\;\;y=x-54\\(x-63)^2+(x-54-9)^2=72\\2(x-63)^2=72\\(x-63)^=36\\|x-63|=6\\x-63=6\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;x-63=-6\\x_1=69\\x_2=57\)
Policz wartości y1 oraz y2.
Pozostanie Ci tylko napisać dwa równania okręgów o promieniu danym i o obliczonych środkach.