rozwiąż równanie - trygonometria

[sailores897]

(zad 11 matura czerwiec 2017)
doprowadziłam równanie do postaci \(\sin x−\cos x= {\sqrt2\over2}\) po czym podniosłam obie strony do kwadratu i wyszedł mi niepoprawny wynik. Bardzo proszę, czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć i dać powód dla którego nie mogłam tak właśnie podnieść sobie obu stron do kwadratu?
Pozdrawiam

[panb]

Podnoszenie obu stron do kwadratu jest dopuszczalne, jeśli wiadomo (lub założymy) obie strony są dodatnie.

Jeżeli równanie x=2 podniesiesz obustronnie do kwadratu, to otrzymasz \(x^2=4\), a to ma dwa rozwiązania.
W ten cudowny sposób rozmnożyłaś rozwiązania.

Jednak zauważ, że jedno z rozwiązań, które otrzymałaś powinno być poprawne - to, dla którego \(\sin x-\cos x\) jest dodatnie.
Jeśli tak nie jest, to znaczy, że jeszcze gdzieś się pomyliłaś.

[sailores897]

Tak, jedno rzeczywiście było dodatnie. Wszystko już rozumiem, bardzo dziękuje!

[Jerry]

...doprowadziłam równanie do postaci \(\sin x−\cos x= {\sqrt2\over2}\) ...

Bez pierwiastków obcych można tak:
\(\sin x−\cos x= {\sqrt2\over2}\qquad |:\sqrt2\\
\sin x\cdot {\sqrt2\over2}−\cos x\cdot {\sqrt2\over2}= {1\over2}\\
\sin\left(x-{\pi\over4}\right)={1\over2}\)

Pozdrawiam