W trójkącie jeden z kątów spełnia warunek
\(\Limn (\cos a + \cos^2a + ... + \cos^n a) = \Limn \frac{\sqrt{4n^4-2n^3+\sqrt{3}}-(n-1)(n+2)}{n(n-\sqrt{2})}\)
Jaką miarę ma ten kąt?
A. \( \frac{\Pi }{4} \) B. \( \frac{\Pi }{3} \) C. \( \frac{\Pi }{6} \) D. \( \frac{2 \Pi }{3} \)
Zadanie - trójkąt
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3532
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1939 razy
Re: Zadanie - trójkąt
Ponieważ
\(\Limn (\cos a + \cos^2a + ... + \cos^n a) = \Limn \frac{\sqrt{4n^4-2n^3+\sqrt{3}}-(n-1)(n+2)}{n(n-\sqrt{2})}\iff\\ \qquad\iff ({\cos\alpha\over1-\cos\alpha}=1\wedge\cos\alpha\in(-1;1)\ )\)
to
\( \cos\alpha={1\over2}\)
i
B. \( \frac{\pi }{3} \)
Pozdrawiam
\(\Limn (\cos a + \cos^2a + ... + \cos^n a) = \Limn \frac{\sqrt{4n^4-2n^3+\sqrt{3}}-(n-1)(n+2)}{n(n-\sqrt{2})}\iff\\ \qquad\iff ({\cos\alpha\over1-\cos\alpha}=1\wedge\cos\alpha\in(-1;1)\ )\)
to
\( \cos\alpha={1\over2}\)
i
B. \( \frac{\pi }{3} \)
Pozdrawiam
- Młodociany całkowicz
- Często tu bywam
- Posty: 170
- Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 39 razy
Re: Zadanie - trójkąt
\(\Limn \frac{\sqrt{4n^4-2n^3+\sqrt{3}}-(n-1)(n+2)}{n(n-\sqrt{2})} = \Limn \frac{\sqrt{4-\frac{2}{n}+\frac{\sqrt{3}}{n^2}}-(1-\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})}{1-\frac{\sqrt{2}}{n}} = 1\)
Z sumy ciągu geometrycznego
\(\sum_{n=1}^{n}( \cos a)^n = \cos a \frac{1 - \cos^n a}{1-\cos a}\)
Po wyciągnięciu granicy otrzymujemy:
\( \frac{\cos a}{1-\cos a} = 1\)
\(a = \frac{\pi}{3}\)
Z sumy ciągu geometrycznego
\(\sum_{n=1}^{n}( \cos a)^n = \cos a \frac{1 - \cos^n a}{1-\cos a}\)
Po wyciągnięciu granicy otrzymujemy:
\( \frac{\cos a}{1-\cos a} = 1\)
\(a = \frac{\pi}{3}\)