równania wymierne z parametrem

[Mafmayks]

cześć
zastanawia mnie jedna rzecz w zadaniach typu
wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\) dla ktorych rownanie np. \({m+2\over x+1} = {x-1\over4}\) ma JEDNO rozwiązanie
z czego co wiem to równanie ma jedno rozw, gdy
1( odpowiednie założenia, \(x\) nierówne..., \(D=\rr\setminus\{\ldots\}\) )
2 \(\Delta = 0\), ale \(f(x) \ne 0\), lub \(\Delta>0\) ale \(f(x)= 0\)

zastanawia mnie dlaczego czasami się spotykam z rozwiązaniami(poprawnymi) gdzie przy rozwiązywaniu celowo pomijają założenie \(\Delta>0\) i \(f(x) = 0\)

Ogólnie myślę że w miarę rozumiem o co chodzi (o ile to co jest zapisane jest dobrze) ale bardzo bym prosił i był wdzięczny jakby mi ktoś wytłumaczył to i ogólnie typ zadań ( wyznacz wszystkie wartosci parametru ... dla których równanie ma jedno/brak/2 rozwiązania). ALE SZCZEGÓŁOWO, co się dokładnie z czego bierze, bo męczy mnie ten temat od kilku dni i jestem w dużej niepewności a bardzo chciałbym to zrozumieć
Z góry ogromne dzięki , pozdrawiam

[Jerry]

Każde dyskutowane równanie należy traktować indywidualnie, chociaż jest dosyć wygodny myk...

... np. \({m+2\over x+1} = {x-1\over4}\) ma JEDNO rozwiązanie

Dane równanie jest równoważne
\(x^2=4m+9\wedge x\ne1\wedge m\in\rr\)
Wykresem funkcji lewej strony jest parabola o wierzchołku \((0,0)\), ramionach otwartych ku górze, z "dziurą" w punkcie \((1,1)\).
Wykresem funkcji prawej strony jest pozioma prosta, na wysokości \(4m+9\).
Wykresy te przetną się jeden raz, jeżeli
\(4m+9=0\vee 4m+9=1\\ \ldots\)
Jeżeli potrafimy przekształcić równanie do postaci lewa strona funkcja \(x\)-a i potrafimy narysować jej wykres a prawa strona jest funkcją liniową stałą, to schemat ten jest bardzo przyjazny do dyskusji ilości rozwiązań równania (przez niektórych zwany "windą")

Pozdrawiam

[Mafmayks]

dziękuję Ci bardzo, ale skąd się bierze 4m+9=0?

[Mafmayks]

dziękuję Ci bardzo, ale skąd się bierze 4m+9=0?

nie ważne, już wiem

[Mafmayks]

Każde dyskutowane równanie należy traktować indywidualnie, chociaż jest dosyć wygodny myk...

... np. \({m+2\over x+1} = {x-1\over4}\) ma JEDNO rozwiązanie

Dane równanie jest równoważne
\(x^2=4m+9\wedge x\ne1\wedge m\in\rr\)
Wykresem funkcji lewej strony jest parabola o wierzchołku \((0,0)\), ramionach otwartych ku górze, z "dziurą" w punkcie \((1,1)\).
Wykresem funkcji prawej strony jest pozioma prosta, na wysokości \(4m+9\).
Wykresy te przetną się jeden raz, jeżeli
\(4m+9=0\vee 4m+9=1\\ \ldots\)
Jeżeli potrafimy przekształcić równanie do postaci lewa strona funkcja \(x\)-a i potrafimy narysować jej wykres a prawa strona jest funkcją liniową stałą, to schemat ten jest bardzo przyjazny do dyskusji ilości rozwiązań równania (przez niektórych zwany "windą")

Pozdrawiam

dziękuję, dałeś mi inne spojrzenie na to zadanie

[Mafmayks]

Każde dyskutowane równanie należy traktować indywidualnie, chociaż jest dosyć wygodny myk...

... np. \({m+2\over x+1} = {x-1\over4}\) ma JEDNO rozwiązanie

Dane równanie jest równoważne
\(x^2=4m+9\wedge x\ne1\wedge m\in\rr\)
Wykresem funkcji lewej strony jest parabola o wierzchołku \((0,0)\), ramionach otwartych ku górze, z "dziurą" w punkcie \((1,1)\).
Wykresem funkcji prawej strony jest pozioma prosta, na wysokości \(4m+9\).
Wykresy te przetną się jeden raz, jeżeli
\(4m+9=0\vee 4m+9=1\\ \ldots\)
Jeżeli potrafimy przekształcić równanie do postaci lewa strona funkcja \(x\)-a i potrafimy narysować jej wykres a prawa strona jest funkcją liniową stałą, to schemat ten jest bardzo przyjazny do dyskusji ilości rozwiązań równania (przez niektórych zwany "windą")

Pozdrawiam

zrozumiałem co pan napisał, ale moje wątpliwości związane ze sposobem z deltą nadal pozostały