Prędkość cząstki i jej położenie w jednorodnym polu elekrostatycznym

[pyrkun]

Ciało o masie m = \(10^{-3}\) kg i ładunku Q = \(10^{-4}\) C porusza się w jednorodnym polu elektrostatycznym o natężeniu \(\vec{E}\) = 100 \(\vec{j}\) V/m. Prędkość początkowa wynosi \(\vec{v}\) = \(v_{0}\cdot\) \(\vec{i}\) m/s. W dowolnym wybranym układzie współrzędnych obliczyć tor cząstki \(\vec{r}\)(t)
i jej prędkość \(\vec{v}\)(t).

\(\vec{i}\) i \(\vec{j}\) są wersorami.

Potrafię całkować i różniczkować, ale potrzebuję pomocy, bo nie wiem jak się do tego zabrać

[panb]

Ciało o masie m = \(10^{-3}\) kg i ładunku Q = \(10^{-4}\) C porusza się w jednorodnym polu elektrostatycznym o natężeniu \(\vec{E}\) = 100 \(\vec{j}\) V/m. Prędkość początkowa wynosi \(\vec{v}\) = \(v_{0}\cdot\) \(\vec{i}\) m/s. W dowolnym wybranym układzie współrzędnych obliczyć tor cząstki \(\vec{r}\)(t)
i jej prędkość \(\vec{v}\)(t).

\(\vec{i}\) i \(\vec{j}\) są wersorami.

Potrafię całkować i różniczkować, ale potrzebuję pomocy, bo nie wiem jak się do tego zabrać

Myślę, że tu nie trzeba różniczkować ani całkować. Oto moja propozycja rozwiązania:

najpierw rysunek dla \(v_0=10m/s\):

Analiza:

• masa \(m\) będzie poruszała się w poziomie ruchem jednostajnym z prędkością \(v_0\) ponieważ w tym kierunku nie działa żadna siła. Droga przebyta w poziomie w czasie t to \(x=v_0t\)
• w kierunku pionowym działa siła zaznaczona na rysunku oraz siła ciężkości:
  \(F=Q\cdot E=10^{-2}N,\quad P=m\cdot g =9,81\cdot10^{-3}N\)
  siły ciężkości nie można tu zaniedbać, ponieważ jest ona porównywalna z siłą oddziaływania elektrostatycznego.
  masa będzie się poruszała w kierunku pionowym z przyspieszeniem \(a= \frac{F-P}{m} = \frac{QE-mg}{m}\)
  Droga przebyta w pionie w czasie t to \(y=v_0t+ \frac{at^2}{2} \)

Równanie toru otrzymamy rugując t z równań \( \begin{cases}x=v_0t\\y=v_0t+ \frac{at^2}{2} \end{cases} \). Otrzymamy równanie toru \(y= \frac{a}{2v_0}x^2+x \)
Wstawiając w miejsce a wyrażenie określające przyspieszenie, dostaniemy równanie toru
\[y= \frac{QE-mg}{2v_0m}x^2+x \]

Uwaga: Jeśli przyjąć \(g=10m/s^2\), to wypadkowa siła w pionie będzie równa zero i masa będzie się poruszała ruchem jednostajnym z prędkością \(v(t)=v_0\) wzdłuż osi iksów.

Teraz prędkości.
W poziomie \(v_x(t)=v_0\), w pionie \(v_y(t)=at= \frac{QE-mg}{m}t\)
Prędkość wypadkowa \[v(t)=\sqrt{v_0^2+\frac{(QE-mg)^2}{m^2}t^2}\]