Udowodnić, że dla każdego naturalnego

[damian28102000]

Cześć!
Udowodnić, że dla każdego naturalnego \(n \ge 17\)
\(2^n>n^4\)

Bo coś za łatwo jeśli to prawidłowe rozwiązanie:
\(2^n*2>n^4+4n^3+6n^2+4n+1\)
i podstawić za n 17 i obliczyć, czy się zgadza

[kerajs]

To nie wystarczy.
W dowodzie indukcyjnym ma być:
\(L=2^{n+1}=2 \cdot 2^n>2n^4=......>(n+1)^4=P\)
pozostaje wymyślić jak udowodnić ostatnie przejście (wykropkowany fragment).

[panb]

Trzeba pokazać, że \(2n^4>(n+1)^4\) (zawsze albo przynajmniej dla \(n\ge17\))

Ponieważ obie strony nierówności są dodatnie, więc
\(2n^4>(n+1)^4 \iff n \sqrt[4]{2}>n+1 \iff \\ \qquad\iff n \left(\sqrt[4]{2}-1 \right)>1 \stackrel{\sqrt[4]{2}>1}{\iff} n> \frac{1}{\sqrt[4]{2}-1} \stackrel{\text{po usunięciu niewym. z mian.}}{=} \left( \sqrt[4]{2}+1\right) \left(\sqrt2+1 \right) \)
\(5<\left( \sqrt[4]{2}+1\right) \left(\sqrt2+1 \right)<6\), więc dla \(n\geq6\) prawdziwy jest ciąg równoważnych nierówności:
\(n> \frac{1}{ \sqrt[4]{2}-1}\\
n \left( \sqrt[4]{2}-1 \right)>1\\
n \sqrt[4]{2}-n>1\\
n \sqrt[4]{2}>n+1\\
2n^4>(n+1)^4 \)

[Jerry]

Udowodnić, że dla każdego naturalnego \(n \ge 17\)
\(2^n>n^4\)

Inaczej:
\(2^n-n^4>0\)
czyli, w kroku indukcyjnym mamy wykazać
\(2^{n+1}-(n+1)^4>0\)

\(L=2^{n+1}-(n+1)^4=2(2^n-n^4)+n^4-4n^3-6n^2-4n-1\nad{\text{z zał}}{>}n^4-4n^3-6n^2-4n-1=\\ \qquad
=(n^4-6n^3)+(2n^3-12n^2)+(6n^2-36n)+(32n-192)+191=\\ \qquad=(n-6)(n^3+2n^2+6n+32)+191\nad{n\ge6}{>}191>0=P\)
Czyli krok indukcyjny działa już od \(n=6\), ale próg robi swoje...

Pozdrawiam

[kerajs]

Niestety krok indukcyjny nie działa już od \(n=6\) , gdyż wtedy (a ściślej to dla \(n \in \left\{ 2,3,4,...,16\right\}\) ) nieprawdziwe jest wcześniejsze przejście, czyli:
\(2 \cdot 2^n>2n^4\)
Dlatego bezpieczniej jest nie zmieniać podanego w zadaniu założenia.

Najbardziej (względem powyższych) pracochłonną jest wersja (o ile się nie pomyliłem w rachunkach):
\(2n^4=(n+1)^4+(n-17)^4+64(n-17)^3+1524(n-17)^2+15976(n-17)+62066\)
co dla \(n>16\)
daje oczekiwane przejście:
\(2n^4=(n+1)^4+(n-17)^4+64(n-17)^3+1524(n-17)^2+15976(n-17)+62066>(n+1)^4\)

[damian28102000]

Trzeba pokazać, że \(2n^4>(n+1)^4\) (zawsze albo przynajmniej dla \(n\ge17\))

Ponieważ obie strony nierówności są dodatnie, więc
\(2n^4>(n+1)^4 \iff n \sqrt[4]{2}>n+1 \iff \\ \qquad\iff n \left(\sqrt[4]{2}-1 \right)>1 \stackrel{\sqrt[4]{2}>1}{\iff} n> \frac{1}{\sqrt[4]{2}-1} \stackrel{\text{po usunięciu niewym. z mian.}}{=} \left( \sqrt[4]{2}+1\right) \left(\sqrt2+1 \right) \)
\(5<\left( \sqrt[4]{2}+1\right) \left(\sqrt2+1 \right)<6\), więc dla \(n\geq6\) prawdziwy jest ciąg równoważnych nierówności:
\(n> \frac{1}{ \sqrt[4]{2}-1}\\
n \left( \sqrt[4]{2}-1 \right)>1\\
n \sqrt[4]{2}-n>1\\
n \sqrt[4]{2}>n+1\\
2n^4>(n+1)^4 \)

Możesz jeszcze mi wyjaśnić jak po usunięciu z mianownika dostajesz te \(\left(\sqrt2+1 \right)\), bo mi tylko wychodzi \(\left( \sqrt[4]{2}+1\right)\)

[Jerry]

Możesz jeszcze mi wyjaśnić jak po usunięciu z mianownika dostajesz te \(\left(\sqrt2+1 \right)\), bo mi tylko wychodzi \(\left( \sqrt[4]{2}+1\right)\)

Ponieważ
\(\left(\sqrt[4]{2}-1\right)\cdot \left( \sqrt[4]{2}+1\right) \left(\sqrt2+1 \right)=\left(\sqrt2-1 \right)\left(\sqrt2+1 \right)=2-1=1 \)
to
\(\frac{1}{\sqrt[4]{2}-1} = \left( \sqrt[4]{2}+1\right) \left(\sqrt2+1 \right) \)

Pozdrawiam