Prosta nierówność.

[gr4vity]

Pytanie techniczne, mam do rozwiązania taką nierówność:
\( \sqrt{7+x}< \frac{19+x}{8} \)
Jak powinniśmy rozbić tą nierówność na przypadki:
Opcja 1:
1) gdy \( \frac{19+x}{8} \ge 0 \)
2) gdy \(\frac{19+x}{8}< 0\)
Opcja 2:
1) gdy \(\frac{19+x}{8}>0\)
2) gdy \(\frac{19+x}{8} \le 0\)
Raz widuje opcję pierwszą raz drugą, tak różne już widziałem w tej kwestii rzeczy jakby ta nierówność ostra nie miała kompletnie znaczenia, czy tak właśnie jest?
Moim zdaniem ewidentnie powinna być opcja druga, przecież prawa strona jeżeli będzie równa 0 to nierówność jest sprzeczna ponieważ pierwiastek nie może być mniejszy od zera. Dlaczego zatem w niektórych zbiorach można zauważyć rozbicie tak jak w opcji pierwszej?

[Icanseepeace]

Opcja 1 jest bardziej uniwersalna ponieważ możesz ją stosować do nierówności zarówno mocnych jak i słabych.
Drugą opcję możesz zastosować tylko dla nierówności mocnych.
Dla kontrprzykładu:
\( \sqrt{7+x} \le \frac{7+x}{2} \)
1) gdy \( \frac{7 +x}{2} > 0 \) otrzymujemy \( x \ge -3 \)
2) gdy \( \frac{7 + x}{2} \le 0 \) to przez chwilę nieuwagi możesz otrzymać sprzeczność (a nie tak jak powinieneś x = -7)
Podsumowując:
Poleciłbym zawsze używać opcji 1.

[Jerry]

\( \sqrt{7+x}< \frac{19+x}{8} \)

A ja polecam zmienną pomocniczą:
Niech
\(\sqrt{7+x}=t\wedge t\ge 0\) dla \(x\ge -7\)
Wtedy
\(x=t^2-7\)
i nierówność jest równoważna
\( t< \frac{19+t^2-7}{8} \)

\(t^2-8t+12>0\)

\((t<2\vee t>6)\wedge t\ge0\So (0\le t<2\vee t>6)\)

\(0\le \sqrt{7+x}<2\vee \sqrt{7+x}>6\)

\(-7\le x<-3\vee x>29\)

Pozdrawiam

[janusz55]

Metoda nierówności równoważnych

\( (7 + x\geq 0) \wedge \sqrt{7+x})^2 < \left( \frac{19+x}{8}\right)^2 \)

\( x \geq -7 \wedge 7+ x < \frac{361 + 38x +x^2}{64} |\cdot 64 \)

\( x\geq -7 \wedge 448 +64x < 361 +38x +x^2 \)

\( x\geq -7 \wedge x^2 -26x -87 > 0 \)

\( x\geq -7 \wedge ( x< -3 \vee x > 29) \)

\( x \in \langle -7 , -3) \vee x> 29. \)

[Jerry]

Twoje rozwiązanie, janusz55, będzie poprawne dopiero po komentarzu:
\( \forall _{x\in D}\ P_R={19+x\over8}>0\)

A nie jest to ogólny fakt w równaniach/nierównościach potęgowych - nie sugeruj wątpliwych schematów

Pozdrawiam

[janusz55]

Dla \( x \geq -7 \) funkcja wymierna \( \frac{19 + x}{8} > 0, \)

To założenie nie jest potrzebne.

Nie uczmy się schematycznego rozwiązywania równań i nierówności niewymiernych (wątpliwych schematów, które sugerujesz) jakiś opcji: I czy II czy metody podstawienia, w której z jednej nierówności niewymiernej prostej otrzymujemy nierówność niewymierną podwójną i nierówność pojedynczą do rozwiązania.

Są dwie metody rozwiązywania równań i nierówności algebraicznych wymiernych i niewymiernych - metoda równań (nierówności) równoważnych i metoda analizy starożytnych.

[Jerry]

Dla \( x \geq -7 \) funkcja wymierna \( \frac{19 + x}{8} > 0, \)
To założenie nie jest potrzebne.

Za brak tego komentarza ( nie, jak piszesz, założenia) na maturze - nie ma kompletu punktów, o ile jakieś są. Tak piszą w schematach oceniania tzw. eksperci CKE - ich zdanie jest dla egzaminatorów wiążące! Dura lex, sed lex.

Pozdrawiam
PS. Masz certyfikat egzaminatora maturalnego? Ja - tak!

[Jerry]

Są dwie metody rozwiązywania równań i nierówności algebraicznych wymiernych i niewymiernych - metoda równań (nierówności) równoważnych i metoda analizy starożytnych.

Zademonstruj, proszę, jedną z tych metod rozwiązanie nierówności:
\(\sqrt{x^2-2x}>x-1\)

Z góry dziękuję, pozdrawiam

[janusz55]

Widzę, że zmieniłeś zadanie.

W rozwiązywaniu zadań (w tym równań i nierówności wymiernych i niewymiernych ) stosujemy tylko konieczne założenia (komentarze).

Stosowanie dodatkowych założeń, które wynikają z założeń wcześniejszych traktowane jako nierozumienie metod rozwiązywania zadań na każdym poziomie szkolnym czy akademickim.

Metoda nierówności równoważnych

\( \sqrt{x^2 -2x} > x -1 \)

\( (x^2 -2x \geq 0, \ \ x (x-2)\geq 0, \ \ x\leq 0 \vee x \geq 2.\)

Tutaj w przeciwieństwie do poprzedniej nierówności musimy uwzględnić dwa przypadki:

Przypadek pierwszy

\( x\leq 0 \)

Lewa strona nierówności jest nieujemna druga ujemna.

Nierówność jest spełniona dla każdego \( x\leq 0. \)

Przypadek drugi

\( x \geq 2\)

Lewa strona nierówności jest nieujemna prawa - dodatnia.

Podnosimy obie strony nierówności do kwadratu

\( x^2 -2x > (x-1)^2 \)

\( x^2 -2x > x^2 -2x + 1 \)

\( 0 > 1.\)

Nierówność sprzeczna.

Odpowiedź: rozwiązaniem nierówności jest ujemna półprosta rzeczywista \( \{x: \ \ x\in \rr, x\leq 0 \}. \)

[Jerry]

Widzę, że zmieniłeś zadanie.

Ja? W jakiej kwestii?

Stosowanie dodatkowych założeń, które wynikają z założeń wcześniejszych traktowane jako nierozumienie metod rozwiązywania zadań na każdym poziomie szkolnym czy akademickim.

Przez kogo są tak traktowane? Powtórzę pytanie:

Masz certyfikat egzaminatora maturalnego?

Tutaj w przeciwieństwie do poprzedniej nierówności musimy uwzględnić dwa przypadki:

A jednak

Odpowiedź: rozwiązaniem nierówności jest ujemna półprosta rzeczywista ...

Miłego wieczoru
PS. Pisałem Ci już, tym razem po polsku,: Po pierwsze nie szkodzić!