Dzień dobry,
Mam takie zadanie:
W pojemniku jest 5 kul białych i 4 czarne. Na ile sposobów można wyjąć z pojemnika 3 kule, tak, aby otrzymać:
a) 3 kule białe
b) 3 czarne
c) 2 białe i 1 czarną
d) co najmniej 1 białą
Odpowiedzi do tego zadania to:
a) \( { 5 \choose 3} \)
b) \( { 4 \choose 3} \)
c) \( { 5 \choose 2} \cdot { 4 \choose 1} \)
d) \( { 5 \choose 1} \cdot { 4 \choose 2} + { 5 \choose 2} \cdot { 4 \choose 1} + { 5 \choose 3}\)
Mam również 2 pytania:
1) Czy w domyśle przyjmujemy, że te kule są rozróżnialne ( poza kolorami ), a więc mają na sobie jakieś liczby? Wydaje mi się, że dla nierozróżnialnych byłby po prostu 1 sposób wyciągnięcia ( nie widziałbym różnicy między jedną trójką białych, a inną trójką białych ).
2) Załóżmy, że w tym zadaniu kule byłyby rozróżnialne. Czy zakłada się w domyśle, że wyciągamy wszystkie naraz? A więc mamy kombinacje? Gdybyśmy wyciągali 3, ale jedna po drugiej to powstałyby ciągi, a więc wtedy byłaby ważna kolejność.
Pozdrawiam
Ilość sposobów wyciągnięcia kul z pojemnika
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Ilość sposobów wyciągnięcia kul z pojemnika
Rozwiązanie poprawne.
A co do pytań:
1. Po prostu nie liczy się kolejność. Podobnie przy rzucie 2 monetami (na raz) są 4, a nie 3 możliwości. Zgodzisz się przecież, że wypadnięcie OR może się zdarzyć na swa sposoby chociaż rzucamy na raz dwiema monetami.
2. Tak, masz rację.
A co do pytań:
1. Po prostu nie liczy się kolejność. Podobnie przy rzucie 2 monetami (na raz) są 4, a nie 3 możliwości. Zgodzisz się przecież, że wypadnięcie OR może się zdarzyć na swa sposoby chociaż rzucamy na raz dwiema monetami.
2. Tak, masz rację.
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 110
- Rejestracja: 04 sty 2014, 19:12
- Podziękowania: 12 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
Re: Ilość sposobów wyciągnięcia kul z pojemnika
Przede wszystkim dziękuję za odpowiedź. Plus.panb pisze: ↑02 kwie 2021, 14:57 Rozwiązanie poprawne.
A co do pytań:
1. Po prostu nie liczy się kolejność. Podobnie przy rzucie 2 monetami (na raz) są 4, a nie 3 możliwości. Zgodzisz się przecież, że wypadnięcie OR może się zdarzyć na swa sposoby chociaż rzucamy na raz dwiema monetami.
2. Tak, masz rację.
Zakładam, że odpowiedziałeś na moje pytanie w kolejności, a nie jest to po prostu luźna lista uwag do obu.
Nie rozumiem za bardzo odpowiedzi na pytanie 1)
Załóżmy, że kule są ponumerowane i białym kulom przypadły numery 1-5. To rzeczywiście przy jednoczesnym ich wyciągnięciu ( i trafieniu 3 białych ) mam 10 kombinacji, bo zbiór {1,2,3} jest czymś innym niż zbiór {2,3,4}.
Jeżeli jednak kule nie są ponumerowane to załóżmy, że wyciągam 3 i akurat wszystkie są białe. Ok. Wrzucam je z powrotem. Losuję ponownie i znowu wszystkie są białe. Nie mam bladego pojęcia, czy tym razem trafiłem jakąś białą, której nie wylosowałem w losowaniu pierwszym. One wyglądają tak samo. Zatem dla mnie 3 białe kule można wyciągnąć tylko na jeden sposób gdy są one nierozróżnialne.
Mam w głowie zadanie o n nierozróżnialnych kulach i n nierozróżnialnych pudełkach. Na ile sposobów mogę włożyć wszystkie kule do pudełek tak, aby w każdym była jedna kula? Na 1 sposób. Nie wiem, czy jest to dobra analogia. Zakładam, że tak.
PS Przy monetach robimy właśnie to założenie, że są one rozróżnialne.
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Ilość sposobów wyciągnięcia kul z pojemnika
Nie, monety są zwykle nierozróżnialne i takie miałem na myśli.
Nic lepszego niż przykład z monetami nie przychodzi mi do głowy.
Do ilości wszystkich możliwych przypadków w rzucie na raz 2 (nierozróżnialnymi) monetami zaliczamy: OO, OR, RO, RR.
Nic lepszego niż przykład z monetami nie przychodzi mi do głowy.
Do ilości wszystkich możliwych przypadków w rzucie na raz 2 (nierozróżnialnymi) monetami zaliczamy: OO, OR, RO, RR.
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 110
- Rejestracja: 04 sty 2014, 19:12
- Podziękowania: 12 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
Re: Ilość sposobów wyciągnięcia kul z pojemnika
Jeżeli teraz poprosiłbym Cię o to samo dla rozróżnialnych to z pewnością też wypisałbyś OO, OR, RO, RR. Zatem wychodzi to samo, a jednak sytuacje są różne.
W realnym świecie przy prawdopodobieństwie rzeczywiście {O, R} wypada 2 razy częściej niż np. {O, O}. Jednak tutaj mówimy tylko o sposobach i nie interesuje nas, czy jakaś kombinacja pojawia się częściej.
Jeżeli zrobilibyśmy taki eksperyment, że mielibyśmy 2 identyczne monety, Ty miałbyś zasłonięte oczy i ja tylko Tobie mówiłbym, że wynikiem danego rzutu ( przez rzut rozumiem jednoczesny rzut dwoma monetami ) jest jeden orzeł oraz jedna reszka to nie wiedziałbyś, czy była sytuacja OR, RO ( ja również bym nie wiedział, bo podczas rzutu miałbym zasłonięte oczy, a potem zdejmował na chwilę opaskę, aby sprawdzić na podłodze, co wypadło ). Wiedziałbyś jedynie, że było { O, R }.
W realnym świecie przy prawdopodobieństwie rzeczywiście {O, R} wypada 2 razy częściej niż np. {O, O}. Jednak tutaj mówimy tylko o sposobach i nie interesuje nas, czy jakaś kombinacja pojawia się częściej.
Jeżeli zrobilibyśmy taki eksperyment, że mielibyśmy 2 identyczne monety, Ty miałbyś zasłonięte oczy i ja tylko Tobie mówiłbym, że wynikiem danego rzutu ( przez rzut rozumiem jednoczesny rzut dwoma monetami ) jest jeden orzeł oraz jedna reszka to nie wiedziałbyś, czy była sytuacja OR, RO ( ja również bym nie wiedział, bo podczas rzutu miałbym zasłonięte oczy, a potem zdejmował na chwilę opaskę, aby sprawdzić na podłodze, co wypadło ). Wiedziałbyś jedynie, że było { O, R }.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1939 razy
Re: Ilość sposobów wyciągnięcia kul z pojemnika
Istnieje w kombinatoryce pojęcie kombinacji z powtórzeniami, nie ma jednak zastosowania w probabilistyce..
Pozdrawiam
-
- Fachowiec
- Posty: 1561
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 412 razy
Re: Ilość sposobów wyciągnięcia kul z pojemnika
Kombinacje z powtórzeniami mają zastosowania nie tylko w kombinatoryce ale także w probabilistyce i statystyce.
W probabilistyce - modelowaniu doświadczeń losowych związanych z losowym wyborem i zwracaniem w statystyce w modelowaniu prób losowych związanych z wielokrotnym wyborem z tej samej populacji.
W probabilistyce - modelowaniu doświadczeń losowych związanych z losowym wyborem i zwracaniem w statystyce w modelowaniu prób losowych związanych z wielokrotnym wyborem z tej samej populacji.