Dowód podzielnośći.

[gr4vity]

Udowodnij, że wyrażenie \((n-1)n(n+1)\) jest podzielne przez \(24\) jeśli \(n\) to liczba nieparzysta.
Czy taki dowód jest poprawny:
\(W(n)=(n-1)n(n+1)\)
\((n-1)\) i \((n+1)\) to dwie kolejne liczby parzyste, zatem dokładnie jedna z nich podzielna jest przez \(4\) i jedna jest podzielna przez \(2\).
Zatem \(8|(n-1)(n+1)\)
\((n-1)n(n+1)\) to trzy kolejne liczby całkowite, iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez \(3!\) zatem \(6|(n-1)n(n+1)\), jak udowodnić teraz tezę? Ponieważ liczby 6 i 8 nie są względnie pierwsze :/

[kerajs]

\((n-1)n(n+1)\) to trzy kolejne liczby całkowite, iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez \(3!\) zatem \(6|(n-1)n(n+1)\),

Powyższe zamień na:
Iloczyn \((n-1)n(n+1)\) zawiera trzy kolejne liczby całkowite, więc jedna z nich jest podzielna przez 3. Zatem \(3|(n-1)n(n+1)\),

[gr4vity]

Dziękuję bardzo za odpowiedź, trochę nie przemyślałem tego robiąc to zadanie.
Można zapisać to wyrażenie w ten sposób?:
\(n=2k+1 \wedge k \in C\)
\((n-1)n(n+1)=2k(2k+1)(2k+2)=4k(2k+1)(k+1)\)
Wystarczy udowodnić, że \(6| k(2k+1)(k+1)\) ponieważ iloczyn liczby 4 i liczby podzielnej przez 6 jest liczbą podzielną przez 24.
Teraz przeanalizować to wyrażenie w podzbiorach liczb całkowitych chodzi mi o : \(k=6x, k=6x+1, k=6x+2...\)
I ostatecznie udowodnić tezę?
Wiem że znacznie z tym więcej pracy ale chodzi mi o to czy rozwiązanie byłoby równie poprawne
Z góry dziękuję za odpowiedź !

[kerajs]

Tak, byłby to także poprawny dowód, choć dużo dłuższy.