Uzasadnij że logarytm naturalny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3561
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1959 razy
Re: Uzasadnij że logarytm naturalny
\(\ln x\ \color{red}{?}\ \frac{x}{e} \)
Daj nam szansę pomocy!!!
Pozdrawiam
- Jerry
- Expert
- Posty: 3561
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1959 razy
Re: Uzasadnij że logarytm naturalny
Pobawię się, z nudów, fusami
Rozpatrzmy
\(y=f(x)=\ln x-\frac{x}{e}\) określoną w \(D=\rr_+\)
Jako, że jest ciągła i różniczkowalna, to
\(y'=f'(x)={1\over x}-{1\over e}\wedge D'=D\)
WKIE: \(y'=0\iff x=e\)
WDIE: pochodna zmienia w \(x=e\) znak z dodatniego na ujemny, zatem
\( \begin{cases}x=e\\y_{\max}=f(e)=0=M \end{cases} \)
Ostatecznie
\(\forall_{x\in\rr_+}f(x)\le 0\iff\forall_{x\in\rr_+}\ln x\le {x\over e}\) i równość zachodzi dla \(x=e\)
Pozdrawiam
PS. Ale co ma do tego
Rozpatrzmy
\(y=f(x)=\ln x-\frac{x}{e}\) określoną w \(D=\rr_+\)
Jako, że jest ciągła i różniczkowalna, to
\(y'=f'(x)={1\over x}-{1\over e}\wedge D'=D\)
WKIE: \(y'=0\iff x=e\)
WDIE: pochodna zmienia w \(x=e\) znak z dodatniego na ujemny, zatem
\( \begin{cases}x=e\\y_{\max}=f(e)=0=M \end{cases} \)
Ostatecznie
\(\forall_{x\in\rr_+}f(x)\le 0\iff\forall_{x\in\rr_+}\ln x\le {x\over e}\) i równość zachodzi dla \(x=e\)
Pozdrawiam
PS. Ale co ma do tego
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Uzasadnij że logarytm naturalny
Może miało być
Uzasadnij że \(\ln x <\frac{x}{e} \) dla \(x<e\) ?
- Jerry
- Expert
- Posty: 3561
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1959 razy