prosta o równaniu y = a

[monika45]

zadanie 1.
Prosta o równaniu y = a ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej \(f(x) = - \frac{1}{4} x^2 + 3x + 2\). Ile wynosi wartość \(a\)?

zadanie 2.
Punkt \(A = (-3,4)\) jest początkiem odcinka \(AB\), gdzie \(S = (2,-2)\) jest jego środkiem. Jakie współrzędne ma punkt B?

zadanie 3.
Suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi 149. Wyznacz te liczby.

Zadanie 4.
Wyznacz pole trójkąta równobocznego, którego wysokość jest o 1 cm krótsza od boku trójkąta

zadanie 5.
Podstawą trójkąta równoramiennego jest odcinek o końcach w punktach \(A = (-2,-4)\) oraz \(B = (-5,2)\). Jedno z jego ramion zawiera się w prostej o równaniu \(y = x-2\). Oblicz współrzędne trzeciego wierzchołka trójkąta.

[ewelawwy]

Aby prosta o równaniu y=a miała dokładnie jeden punkt wspólny z daną funkcją, to mus przechodzić przez jej wierzchołek.
Wyznaczamy wierzchołek funkcji:
jeśli \(f(x)=Ax^2+Bx+C, \ to\ W=(- \frac{B}{2A}, - \frac{- \Delta}{4A})\)
\(\Delta=B^2-4AC=9+2=11\)
\(W=( \frac{-3}{-0.5}, \frac{-11}{-1})=(6, 11)\)
Zatem y=a=11

[ewelawwy]

zad2.
\(x_B = 2-( -3-2) = 2-(-5)=7\)
\(y_B=-2-(4-(-2))=-2-(6)=-8\)
B=(7,-8)

[ewelawwy]

zad3.
Niech:
x-1 - najmniejsza liczba
x - środkowa liczba
x+1 - największa lczba
\(x-1, x, x+1 \in N \Rightarrow x \ge 2\)

\((x-1)^2 + x^2 + (x+1)^2 = 149\)
\(x^2-2x+1+x^2+x^2+2x+1=149\)
\(3x^2=147\)
\(x^2=49\)
\(x=-7 \vee x=7\)
Ale \(x \ge 2\), więc x=7.
Zatem szukanym liczbami są: 6,7 i 8.

[ewelawwy]

zad4.
\(a\)- bok trójkąta
\(h = \frac{a \sqrt{3} }{2}\) - wysokość trójkąta
\(P = \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}\) -pole trójkąta
\(h+1 = a\)
\(\frac{a \sqrt{3} }{2} +1 =a\)
\(\frac{a \sqrt{3} }{2} =a-1\)
\(a \sqrt{3}=2a-2\)
\(a( \sqrt{3}-2)=-2\)
\(a= \frac{-2}{ \sqrt{3}-2 }\)
\(a= \frac{-2( \sqrt{3}+2) }{3-4}\)
\(a=2( \sqrt{3}+2)\)
\(P= \frac{(2( \sqrt{3}+2))^2 \sqrt{3}}{4}=\frac{4(3+2 \sqrt{3}+4) \sqrt{3} }{4}=\frac{12 \sqrt{3}+24+16 \sqrt{3} }{4}=\frac{28 \sqrt{3}+24}{4}=7 \sqrt{3}+6\)

[ewelawwy]

zad5.
Najpierw znajdźmy wzór funkcji przechodzącej przez punkty A i B (czyli pokrywającej się z podstawą trójkąta).
Podstawiamy współrzędne punktów do wzoru y=ax+b i obliczmy układ równań:
\(\begin{cases}-4=-2a+b\\2=-5a+b \end{cases}\)
Otrzymujemy: a=-2 i b=-8. Zatem wzór szukanej funkcji wygląda następująco: y=-2x-8.
Potrzebny będzie nam jeszcze środek S odcinka AB:
\(x_S= \frac{-2+(-5)}{2}=-3.5\)
\(y_S= \frac{-4+2}{2}=-1\)
S=(-3.5,-1)
Teraz wyznaczamy prostą prostopadłą do odc. AB (czyli do prostej y=-2x-8) i przechodzącej przez środek S odc. AB:
proste są prostopadle gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek: \(a_1 * a_2 = -1 \Rightarrow a_1=- \frac{1}{a_2}\)
Stąd wiemy, że wsp. kierunkowy naszej prostej wynosi 1/2. Dodatkowo wiemy, że prosta ma przechodzić przez pkt. S=(-3.5,-1), zatem układamy równanie: -1=0.5*(-3.5)+b i wyznaczamy b: b=0.75. Zatem nasza prosta ma postać: y=0.5x+0.75.
No i na koniec, żeby obliczyć trzeci wierzchołek trójkąta musimy obliczyć punkt przecięcia naszej prostej prostopadłej do podstawy oraz ramienia trójkąta, tj. punkt przecięcia prostych: y=0.5x+0.75 i y=x-2. Zatem należy rozwiązać układ równań:
\(\begin{cases}y=0.5x+0.75 \\ y=x-2 \end{cases}\)
Otrzymujemy: x=5.5 i y=3.5.
Trzeci wierzchołek trójkąta to C=(5.5,3.5).