Ile rozwiązań całkowitych ma równanie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- damian28102000
- Czasem tu bywam
- Posty: 128
- Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
- Podziękowania: 144 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Ile rozwiązań całkowitych ma równanie
Cześć, mam problem z zadaniem, właściwie nie wiem jak to "ugryźć" i zacząć:
Ile rozwiązań całkowitych ma równanie:
\(x_1+x_2+x_3+x_4=16\)
jeśli
a) \(x_i>0\)
b) \(x_1\ge2, x_2\ge3, x_3\ge0, x_4\ge1\)
Ile rozwiązań całkowitych ma równanie:
\(x_1+x_2+x_3+x_4=16\)
jeśli
a) \(x_i>0\)
b) \(x_1\ge2, x_2\ge3, x_3\ge0, x_4\ge1\)
Ostatnio zmieniony 17 mar 2021, 09:48 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa kodu; \ge
Powód: poprawa kodu; \ge
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Ile rozwiązań całkowitych ma równanie
wstęp:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?f=4 ... 7#p5611906
a)\( { 16-1\choose 4-1} \)
b)
skoro \(x_3=0\) to równanie ma postać
\(x_1+x_2+x_4=16\) i ograniczenia \(x_1\ge2, x_2\ge3 , x_4\ge1\)
Przyjmując zmienne pomocnicze \(x_1=t_1+1, x_2=t_2+2 , x_4=t_4\)
szukam ilości rozwiązań równania \(t_1+1+t_2+2+t_4=16\) w liczbach naturalnych dodatnich, Jest ich \( { 16-3-1\choose 3-1} \)
https://matematyka.pl/viewtopic.php?f=4 ... 7#p5611906
a)\( { 16-1\choose 4-1} \)
b)
skoro \(x_3=0\) to równanie ma postać
\(x_1+x_2+x_4=16\) i ograniczenia \(x_1\ge2, x_2\ge3 , x_4\ge1\)
Przyjmując zmienne pomocnicze \(x_1=t_1+1, x_2=t_2+2 , x_4=t_4\)
szukam ilości rozwiązań równania \(t_1+1+t_2+2+t_4=16\) w liczbach naturalnych dodatnich, Jest ich \( { 16-3-1\choose 3-1} \)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1939 razy
Re: Ile rozwiązań całkowitych ma równanie
Niestarannym kodem wprowadziłeś w błąd kerajsa. Do Jego rozwiązania b) musisz dołożyć rozwiązania w liczbach naturalnych dodatnich równania
\(t_1+1+t_2+2+t_3+t_4=16\)
gdzie
\(t_3=x_3\ge1\)
Pozdrawiam
\(t_1+1+t_2+2+t_3+t_4=16\)
gdzie
\(t_3=x_3\ge1\)
Pozdrawiam
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Ile rozwiązań całkowitych ma równanie
Fakt, nie sprawdzam kodu zapisu.
Alternatywą do sumowania zaproponowanego przez Jerrego jest przyjęcie zmiennych:
\(x_1=z_1+1, x_2=z_2+2 , x_3=z_3-1 , x_4=z_4\) . Wtedy
ilość rozwiązań równania \(z_1+1+z_2+2+z_3-1+z_4=16\) w liczbach naturalnych dodatnich to \( { 16-2-1\choose 4-1} \)
Alternatywą do sumowania zaproponowanego przez Jerrego jest przyjęcie zmiennych:
\(x_1=z_1+1, x_2=z_2+2 , x_3=z_3-1 , x_4=z_4\) . Wtedy
ilość rozwiązań równania \(z_1+1+z_2+2+z_3-1+z_4=16\) w liczbach naturalnych dodatnich to \( { 16-2-1\choose 4-1} \)
- damian28102000
- Czasem tu bywam
- Posty: 128
- Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
- Podziękowania: 144 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Ile rozwiązań całkowitych ma równanie
kerajs pisze: ↑17 mar 2021, 10:41 Fakt, nie sprawdzam kodu zapisu.
Alternatywą do sumowania zaproponowanego przez Jerrego jest przyjęcie zmiennych:
\(x_1=z_1+1, x_2=z_2+2 , x_3=z_3-1 , x_4=z_4\) . Wtedy
ilość rozwiązań równania \(z_1+1+z_2+2+z_3-1+z_4=16\) w liczbach naturalnych dodatnich to \( { 16-2-1\choose 4-1} \)
Najmocniej przepraszam, mam problemy jeszcze z latexem, zapis "programistyczny" wydawał mi się jasny.
Dziękuję za rozwiązanie problemu, bo naprawdę nie wiedziałem co zrobić <3
- damian28102000
- Czasem tu bywam
- Posty: 128
- Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
- Podziękowania: 144 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Ile rozwiązań całkowitych ma równanie
Dla \(x_{i}\ge0\) będzie \({ 16+4-1\choose 16}\)?kerajs pisze: ↑17 mar 2021, 08:11 wstęp:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?f=4 ... 7#p5611906
a)\( { 16-1\choose 4-1} \)
b)
skoro \(x_3=0\) to równanie ma postać
\(x_1+x_2+x_4=16\) i ograniczenia \(x_1\ge2, x_2\ge3 , x_4\ge1\)
Przyjmując zmienne pomocnicze \(x_1=t_1+1, x_2=t_2+2 , x_4=t_4\)
szukam ilości rozwiązań równania \(t_1+1+t_2+2+t_4=16\) w liczbach naturalnych dodatnich, Jest ich \( { 16-3-1\choose 3-1} \)
Ostatnio zmieniony 17 mar 2021, 18:19 przez damian28102000, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Ile rozwiązań całkowitych ma równanie
Nie. Wynik który podałeś jest dla całkowitoliczbowych rozwiązań równania
\(x_1+x_2+x_3+x_4=16\) jeśli \(x_i \ge 0\)
Ja wolę zapis \({ 16+4-1\choose 4-1} \). Oba wyniki są takie same gdyż
\( { n\choose k} = { n\choose n-k} \)
\(x_1+x_2+x_3+x_4=16\) jeśli \(x_i \ge 0\)
Ja wolę zapis \({ 16+4-1\choose 4-1} \). Oba wyniki są takie same gdyż
\( { n\choose k} = { n\choose n-k} \)
- damian28102000
- Czasem tu bywam
- Posty: 128
- Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
- Podziękowania: 144 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Ile rozwiązań całkowitych ma równanie
Dobra to jeszcze podsumowując, bo coś mi się tutaj nie zgadza:
Ile rozwiązań CAŁKOWITYCH ma równanie:
\(x_1+x_2+x_3+x_4=16\)
jeśli
a) \(x_i>0\)
\( { 16-1\choose 4-1} \)
b) \(x_1\ge2, x_2\ge3, x_3\ge0, x_4\ge1\)
\(x_1=z_1+1, x_2=z_2+2 , x_3=z_3-1 , x_4=z_4\) . Wtedy
ilość rozwiązań równania \(z_1+1+z_2+2+z_3-1+z_4=16\) w liczbach naturalnych dodatnich to \( { 16-2-1\choose 4-1} \)
c) \(x_{i}\ge0\)
\({ 16+4-1\choose 16}\)
Zgadza się?
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Ile rozwiązań całkowitych ma równanie
Moim zdaniem tak, ale skoro to ja podałem te odpowiedzi, to potrzebna jest opinia jakiegoś specjalisty lub specjalistki. (Mi nie wypada być sędzią we własnej sprawie).
- damian28102000
- Czasem tu bywam
- Posty: 128
- Rejestracja: 11 lis 2020, 19:11
- Podziękowania: 144 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re: Ile rozwiązań całkowitych ma równanie
Mam podejrzenie, że nie zauważyłeś w poleceniu "całkowitych"
A to przypadkiem dla a nie wychodzi:
\(16-4=12 { 12+4-1\choose 12} \)
a dla b
\(16-6=10 { 10+4-1\choose 10} \)
Oczywiście ja jestem leszcz i mogę mówić od rzeczy, ale mam takie przypuszczenie.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1939 razy
Re: Ile rozwiązań całkowitych ma równanie
Tak! Chociaż naturalniejszym zapisem c) byłoby \({ 16+4-1\choose 4-1}\)damian28102000 pisze: ↑17 mar 2021, 18:36 a) \(x_i>0\)
\( { 16-1\choose 4-1} \)
b) \(x_1\ge2, x_2\ge3, x_3\ge0, x_4\ge1\)
\({ 16-2-1\choose 4-1} \)
c) \(x_{i}\ge0\)
\({ 16+4-1\choose 16}\)
Zgadza się?
Pozdrawiam
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1939 razy
Re: Ile rozwiązań całkowitych ma równanie
Gdyby nie zachodził warunek \(x_i\in\zz\), to dane równanie miałoby nieprzeliczalnie nieskończenie wiele rozwiązań!damian28102000 pisze: ↑17 mar 2021, 19:01 Mam podejrzenie, że nie zauważyłeś w poleceniu "całkowitych"
W swoich rozwiązaniach kerajs uparcie omija kombinacje z powtórzeniami... i chwała Mu za to - byłoby problem jeszcze trudniej ogarnąć!
Pozdrawiam
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Ile rozwiązań całkowitych ma równanie
Dziękuję za potwierdzenie poprawności wyników.
Tak, świadomie unikam formy \({ n+k-1\choose n} \) gdyż i tak muszę później ją tłumaczyć. A wyjaśnienia z koralikami, plusami, szparami większość łapie i stosuje równoważną \({ n+k-1\choose k-1} \) . Nie sądziłem, że jest to aż tak widoczne.
Tak, świadomie unikam formy \({ n+k-1\choose n} \) gdyż i tak muszę później ją tłumaczyć. A wyjaśnienia z koralikami, plusami, szparami większość łapie i stosuje równoważną \({ n+k-1\choose k-1} \) . Nie sądziłem, że jest to aż tak widoczne.