Boki równoległoboku zawarte w prostych.

[Januszgolenia]

Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: \(y=x+b,\ y=x+2b,\ y=b,\ y=2,\) gdzie liczba rzeczywista \(b\) spełnia warunek \(b \neq 2\) i b \(\neq 0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(b\), dla których pole tego równoległoboku jest równe \(1\).

[Jerry]

Męczysz nas...
Schemat oceniania próbnej matury CKE

Pozdrawiam

[eresh]

Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: y=x+b, y=x+2b, y=b, y=2, gdzie liczba rzeczywista b spełnia warunek \(b \neq 2 i b \neq 0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru b, dla których pole tego równoległoboku jest równe 1.

prosta zawierająca bok AB: \(y=x+b\)
prosta zawierająca bok BC: \(y=b
\)prosta zawierająca bok AD \(y=2\)
prosta zawierająca bok CD \(y=x+2b\)

\(A(2-b,2)\\
B(0,b)\\
|AB|=\sqrt{(2-b)^2+(b-2)^2}\\
|AB|=\sqrt{2}|2-b|=|CD|\)

wysokość to odległość punktu B od prostej \(x-y+2b=0\)
\(h=\frac{|-b+2b|}{\sqrt{1+1}}\\
h=\frac{|b|}{\sqrt{2}}\)

\(P=h|CD|\\
1=\frac{|b|}{\sqrt{2}}\cdot |2-b|\sqrt{2}\\
1=|2b-b^2|\\
|b^2-2b|=1\\
b^2-2b=-1\;\;\vee\;\;b^2-2b=1\\
(b-1)^2=0\;\;\vee\;\;b^2-2b-1=0\\
b=1\;\;\vee\;\;b=1+\sqrt{2}\;\;\vee\;\;b=1-\sqrt{2}\)

[kerajs]

Proste \(y=x+b,\ y=x+2b\) odcinają na prostej y=2 odcinek o długości |b|, a odległość między prostymi y=2 i y=b to |2-b|. Stąd równanie :
\(|b||2-b|=1\)
a jego rozwiązania to :
\(b=1 \ \vee \ b=1- \sqrt{2} \ \vee \ b=1 + \sqrt{2} \)