Zadanie ze stołami
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
matematymek
- Witam na forum
- Posty: 7
- Rejestracja: 23 lut 2021, 19:15
- Płeć:
Zadanie ze stołami
Czterdzieści osób usadzono w sposób losowy przy czterech dziesięcioosobowych okrągłych stołach. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, ̇ze trzy ustalone wcześniej osoby siedzą przy jednym stole.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1505
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 399 razy
Re: Zadanie ze stołami
Doświadczenie losowe polega na
- losowym wyborze jednego z czterech stołów \( {4\choose 1} \) sposobów,
- losowym wyborze trzech miejsc dla trzech osób przy wybranym dziesięcioosobowym stole na \( {10 \choose 1} \) sposobów (trzy osoby siedzą koło siebie)
- losowym zajęciu trzech miejsc przez te osoby na \( 3! \) sposobów,
- losowym zajęciu pozostałych \( 37 \) miejsc przy czterech stołach przez pozostałych \( 37 \) osób na \( 37!\) sposobów.
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego:
\( \Omega = \{\omega: \omega = f: \{1,2, ..., 40\} \rightarrow \{1,2,..., 40\} \} \)
\( |\Omega| = 40!\)
\( A \) - "zdarzenie wybrane trzy osoby siedzą przy jednym stole obok siebie.
\( P(A) = \frac{{4\choose 1}\cdot {10 \choose 1}\cdot 3! \cdot 37!}{40!}=... \)
Wybrane trzy osoby siedzą przy jednym stole na wybranych losowo miejscach
\( P(A) = \frac{{4\choose 1} \cdot 10\cdot 9 \cdot 8\cdot \cdot 37!}{40!}=... \)
- losowym wyborze jednego z czterech stołów \( {4\choose 1} \) sposobów,
- losowym wyborze trzech miejsc dla trzech osób przy wybranym dziesięcioosobowym stole na \( {10 \choose 1} \) sposobów (trzy osoby siedzą koło siebie)
- losowym zajęciu trzech miejsc przez te osoby na \( 3! \) sposobów,
- losowym zajęciu pozostałych \( 37 \) miejsc przy czterech stołach przez pozostałych \( 37 \) osób na \( 37!\) sposobów.
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego:
\( \Omega = \{\omega: \omega = f: \{1,2, ..., 40\} \rightarrow \{1,2,..., 40\} \} \)
\( |\Omega| = 40!\)
\( A \) - "zdarzenie wybrane trzy osoby siedzą przy jednym stole obok siebie.
\( P(A) = \frac{{4\choose 1}\cdot {10 \choose 1}\cdot 3! \cdot 37!}{40!}=... \)
Wybrane trzy osoby siedzą przy jednym stole na wybranych losowo miejscach
\( P(A) = \frac{{4\choose 1} \cdot 10\cdot 9 \cdot 8\cdot \cdot 37!}{40!}=... \)
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3511
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1918 razy
Re: Zadanie ze stołami
Albo, moim zdaniem - poprawniej:
Przyjmuję, że osoby i stoły są rozróżnialne, miejsca przy stołach - nie. Osobom przyporządkowuję stoły...
\(\Omega\) jest zbiorem \(40\)-elementowych permutacji z powtórzeniami zbioru \((10+10+10+10)\)-elementowego.
\(|\Omega|={40!\over10!\cdot10!\cdot10!\cdot10!}\)
Zdarzenie \(A\): ustalonym osobom przypisuję jeden ze stołów, pozostałe usadzam jak wyżej (przy wybranym stole jest 7 miejsc!)
\(|A|={4\choose1}\cdot{37!\over7!\cdot10!\cdot10!\cdot10!}\)
Zakładając jednakowe prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych, z definicji klasycznej
\(p(A)={|A|\over|\Omega|}=\cdots={4\cdot37!\cdot10!\over 7!\cdot40!}=\cdots\)
Pozdrawiam
PS. Wynik jest zgodny z powyższym
Przyjmuję, że osoby i stoły są rozróżnialne, miejsca przy stołach - nie. Osobom przyporządkowuję stoły...
\(\Omega\) jest zbiorem \(40\)-elementowych permutacji z powtórzeniami zbioru \((10+10+10+10)\)-elementowego.
\(|\Omega|={40!\over10!\cdot10!\cdot10!\cdot10!}\)
Zdarzenie \(A\): ustalonym osobom przypisuję jeden ze stołów, pozostałe usadzam jak wyżej (przy wybranym stole jest 7 miejsc!)
\(|A|={4\choose1}\cdot{37!\over7!\cdot10!\cdot10!\cdot10!}\)
Zakładając jednakowe prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych, z definicji klasycznej
\(p(A)={|A|\over|\Omega|}=\cdots={4\cdot37!\cdot10!\over 7!\cdot40!}=\cdots\)
Pozdrawiam
PS. Wynik jest zgodny z powyższym
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3511
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1918 razy