Rozkład normalny dwa zadanka

[superkumpel]

1. Niech zmienna losowa X ma rozkład normalny N(2,6)
Korzystając z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego oblicz prawdopodobieństwo

a) P(X>4)
b) P(X<-3)

2. Korzystając z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego N(0,1) odczytaj przybliżoną wartość \(X_p\), taką, że

a) \( P(X<x_p)=0,78\)
b) \(P(|X|<x_p)=0,78\)

[panb]

1. Niech zmienna losowa X ma rozkład normalny N(2,6)
Korzystając z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego oblicz prawdopodobieństwo

a) P(X>4)
b) P(X<-3)

\(P(X>4)=1-P(X\le 4)=1-P \left( \frac{X-2}{6} \le \frac{4-2}{6} \right)=1-P \left(U\le 0,33 \right) =1-\Phi(0,333)=1-0,6293=37\% \\
P(X<-3)=P \left( \frac{X-2}{6} < \frac{-3-2}{6}\right) =P \left(U < -0,83 \right)=P(U>0,83)=1-P(U\le0,83)=1-0,79373=20\%\)

[janusz55]

Zadanie 1

\( X \sim \mathcal{N}(2, 6) \)

Funkcja gęstości zmiennej losowej \( X \)

\( f_{(2,6)}(x) = \frac{1}{6\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x -2)^2}{2\cdot 6^2}} \)

b)
\( P(\{X < -3\}) =\frac{1}{6\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{-3} e^{-\frac{(x -2)^2}{2\cdot 6^2}} dx \ \ (c) \)

Standaryzacja, czyli sprowadzenie do stablicowanego rozkładu \( \mathcal{N}(0,1). \)

W tym celu zamieniamy zmienne w całce \((c) \)

\( y = \frac{x - 2}{6}, \ \ dy = \frac{1}{6}dx, \ \ dx = 6\cdot dy. \)

\( P(\{ X < -3 \}) =\frac{1}{6\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{-3} e^{-\frac{(x -2)^2}{2\cdot 6^2}} dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{-\frac{5}{6}} e^{-\frac{y^2}{2}} dy = \phi \left(-\frac{5}{6}\right) - \phi \left(- \infty \right) - \phi(-\infty) = 1 - \phi \left(\frac{5}{6}\right)- 0. \)

Z tablicy dystrybuanty standaryzowanego rozkładu odczytujemy:

\( P(\{ X < -3 \}) = 1 - \phi\left(\frac{5}{6}\right ) = 1 - 0.7976716= 0.2023284.\)

a)
rozwiązujemy podobnie.

[janusz55]

Zadanie 2

\( X \sim \mathcal{N}(2, 6) \)

Metoda podobna jak w zadaniu 1.

Znajdujemy wartość \( x_{p} \) taką, że

\( P( \{X< x_p\} )= 0,78.\)

Funkcja gęstości zmiennej losowej \( X \)

\( f_{(2,6)}(x) = \frac{1}{6\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x -2)^2}{2\cdot 6^2}} \)

a)
\( P(\{X < x_{p}\}) =\frac{1}{6\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x_{p}} e^{-\frac{(x -2)^2}{2\cdot 6^2}} dx \ \ (cc) \)

Standaryzacja, czyli sprowadzenie do stablicowanego rozkładu \( \mathcal{N}(0,1). \)

W tym celu zamieniamy zmienne w całce \((cc) \)

\( y = \frac{x - 2}{6}, \ \ dy = \frac{1}{6}dx, \ \ dx = 6\cdot dy. \)

\( P(\{ X < x_{p}\}) =\frac{1}{6\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x_{p}} e^{-\frac{(x -2)^2}{2\cdot 6^2}} dx =
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\frac{x_{p} -2}{6}} e^{-\frac{y^2}{2}} dy = \phi\left(\frac{x_{p} -2}{6} \right) - \phi (-\infty) = \phi \left(\frac{x_{p}-2}{6}\right)- 0 = 0,78. \)

Stąd

\(\phi\left(\frac{x_{p}-2}{6}\right) \approx \phi(0,77). \)

\( \frac{x_{p} -2}{6} = 0,77, \)

\( x_{p} -2 = 4,62, \)

\( x_{p} = 6,62.\)

b)
rozwiązujemy podobnie.

[superkumpel]

Zadanie 2

\( X \sim \mathcal{N}(2, 6) \)

Metoda podobna jak w zadaniu 1.

Znajdujemy wartość \( x_{p} \) taką, że

\( P( \{X< x_p\} )= 0,78.\)

Funkcja gęstości zmiennej losowej \( X \)

\( f_{(2,6)}(x) = \frac{1}{6\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x -2)^2}{2\cdot 6^2}} \)

a)
\( P(\{X < x_{p}\}) =\frac{1}{6\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x_{p}} e^{-\frac{(x -2)^2}{2\cdot 6^2}} dx \ \ (cc) \)

Standaryzacja, czyli sprowadzenie do stablicowanego rozkładu \( \mathcal{N}(0,1). \)

W tym celu zamieniamy zmienne w całce \((cc) \)

\( y = \frac{x - 2}{6}, \ \ dy = \frac{1}{6}dx, \ \ dx = 6\cdot dy. \)

\( P(\{ X < x_{p}\}) =\frac{1}{6\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x_{p}} e^{-\frac{(x -2)^2}{2\cdot 6^2}} dx =
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\frac{x_{p} -2}{6}} e^{-\frac{y^2}{2}} dy = \phi\left(\frac{x_{p} -2}{6} \right) - \phi (-\infty) = \phi \left(\frac{x_{p}-2}{6}\right)- 0 = 0,78. \)

Stąd

\(\phi\left(\frac{x_{p}-2}{6}\right) \approx \phi(0,77). \)

\( \frac{x_{p} -2}{6} = 0,77, \)

\( x_{p} -2 = 4,62, \)

\( x_{p} = 6,62.\)

b)
rozwiązujemy podobnie.

tu nie jest N(2,6) tylko N(0,1)

[janusz55]

\( X \sim \mathcal{N}(0,1).\)

\( P (\{X< x_p\})= 0,78.\)

\( P (\{X< x_p\}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x_{p}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt = \phi(x_{p}) - \phi(-\infty) = \phi(x_{p}) - 0 = 0,78.\)

Stąd

\(\phi(x_{p}) \approx \phi( 0.77) \)

\( x_{p} =0,77. \)