ile jest równań postaci
\(x^2-px+q=0\)
które mają dwa pierwiastki mniejsze od 7
\(p, q \in C_+\)
ile jest równań postaci...(2 parametry)
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Rozkręcam się
- Posty: 48
- Rejestracja: 10 maja 2010, 18:13
- Podziękowania: 28 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
-
- Moderator
- Posty: 1026
- Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
- Lokalizacja: Częstochowa
- Otrzymane podziękowania: 137 razy
- Płeć:
Narysujmy dowolny wykres funkcji kwadratowej, spełniający warunki zadania:
założenia:
1) \(x_w \ < \ 7\)
2) \(\Delta \ \ge \ 0\)
3) \(x_2 \ < \ 7\)
rozwiązujemy powyższe nierówności (uwzględniając także \(p, q \in C_+\)):
1) \(x_w = \frac{-(-p)}{2 \cdot 1} \ < \ 7 \ \Rightarrow \ p \ < \ 14\)
(ten warunek będziemy uwzględniać od razu przy rozwiązywaniu kolejnych założeń, w celu ułatwienia obliczeń)
2) \(\Delta = p^2-4q \ \ge \ 0 \ \ \Rightarrow \ \ 14 \ > \ p \ \ge \ 2\sqrt{q} \ \ \Rightarrow \ \ q \ < \ 49 \ \wedge \ q \ \le \ \frac{p^2}{4}\)
3)
\(x_2= \frac{p+\sqrt{p^2-4q}}{2} \ < \ 7
p+\sqrt{p^2-4q} \ < \ 14
\sqrt{p^2-4q} \ < \ 14 - p
q \ > \ 7p-49\)
podsumowując mamy:
\(\{7p-49 \ < \ q \ \le \ 49
q \ \le \ \frac{p^2}{4}
p \ < \ 14 \ \Rightarrow \ p \in \{1,2,3,...,13\}\)
aby podać pary \((p,q)\) spełniające założenia, można podstawiać pod \(p\) liczby całkowite z przedziału \(<1;13>\) i sprawdzać jakie wartości całkowite może dla takiego \(p\) przyjmować \(q\)
np. dla \(p=8\):
\(\{7 \cdot 8-49 \ < \ q \ \le \ 49
q \ \le \ \frac{8^2}{4}\)\(\ \Rightarrow \\)\(\{7 \ < \ q \ \le 49
q \ \le \ 16\)\(\ \Rightarrow \\)\(q \in \{8,9,10,11,12,13,14,15,16}\)
tzn, dla \(p = 8\) mamy \(9\) par \((p,q)\)
np \((8,8)\) czyli równanie ma postać \(x^2-8x+8=0\)
np \((8,13)\) czyli równanie ma postać \(x^2-8x+13=0\)
np \((8,16)\) czyli równanie ma postać \(x^2-8x+16=0\)
założenia:
1) \(x_w \ < \ 7\)
2) \(\Delta \ \ge \ 0\)
3) \(x_2 \ < \ 7\)
rozwiązujemy powyższe nierówności (uwzględniając także \(p, q \in C_+\)):
1) \(x_w = \frac{-(-p)}{2 \cdot 1} \ < \ 7 \ \Rightarrow \ p \ < \ 14\)
(ten warunek będziemy uwzględniać od razu przy rozwiązywaniu kolejnych założeń, w celu ułatwienia obliczeń)
2) \(\Delta = p^2-4q \ \ge \ 0 \ \ \Rightarrow \ \ 14 \ > \ p \ \ge \ 2\sqrt{q} \ \ \Rightarrow \ \ q \ < \ 49 \ \wedge \ q \ \le \ \frac{p^2}{4}\)
3)
\(x_2= \frac{p+\sqrt{p^2-4q}}{2} \ < \ 7
p+\sqrt{p^2-4q} \ < \ 14
\sqrt{p^2-4q} \ < \ 14 - p
q \ > \ 7p-49\)
podsumowując mamy:
\(\{7p-49 \ < \ q \ \le \ 49
q \ \le \ \frac{p^2}{4}
p \ < \ 14 \ \Rightarrow \ p \in \{1,2,3,...,13\}\)
aby podać pary \((p,q)\) spełniające założenia, można podstawiać pod \(p\) liczby całkowite z przedziału \(<1;13>\) i sprawdzać jakie wartości całkowite może dla takiego \(p\) przyjmować \(q\)
np. dla \(p=8\):
\(\{7 \cdot 8-49 \ < \ q \ \le \ 49
q \ \le \ \frac{8^2}{4}\)\(\ \Rightarrow \\)\(\{7 \ < \ q \ \le 49
q \ \le \ 16\)\(\ \Rightarrow \\)\(q \in \{8,9,10,11,12,13,14,15,16}\)
tzn, dla \(p = 8\) mamy \(9\) par \((p,q)\)
np \((8,8)\) czyli równanie ma postać \(x^2-8x+8=0\)
np \((8,13)\) czyli równanie ma postać \(x^2-8x+13=0\)
np \((8,16)\) czyli równanie ma postać \(x^2-8x+16=0\)
Re: ile jest równań postaci...(2 parametry)
W poleceniu nie pisało, że muszą być dwa różne pierwiastki, więc uwzględnia się także pierwiastek dwukrotny.
0 nie jest liczbą dodatnią.