Punkt najbliżej paraboli.

[Januszgolenia]

Wyznacz współrzędne punktu leżącego na paraboli o równaniu \(y=x^2-2x+1\) położonego najbliżej punktu A(4,0).

[eresh]

Wyznacz współrzędne punktu leżącego na paraboli o równaniu \(y=x^2-2x+1\) położonego najbliżej punktu A(4,0).

\(B(b,b^2-2b+1)\\
|AB|=\sqrt{((b-4)^2+(b^2-2b+1)^2}\\
|AB|=\sqrt{(b-4)^2+(b-1)^4}\\
f(b)=(b-4)^2+(b-1)^4\\
f'(b)=2(b-4)+4(b-1)^3\\
f'(b)=0\iff b=2\\
f'(b)>0\iff b>2\\
f'(b)<0\iff b<2\\
f_{min}=f(2)\\
B(2,1)\)

[Jerry]

Albo:
Ponieważ dla \(y=f(x)=x^2-2x+1\) mamy \(y'=2x-2\), to rodzina normalnych do krzywej, przechodzących przez punkt \((m,f(m)),\ m\in\rr\), opisana jest wzorem
\[n_m\colon y=-{1\over 2m-2}\cdot (x-m)+m^2-2m+1\text{ dla}\ m\ne1\ \ \vee\ \ n_0\colon x=1\text{ dla}\ m=1\]
Wystarczy zatem, aby \(A\in n_m\), rozwiązać równanie:
\( 0=-{1\over 2m-2}\cdot (4-m)+m^2-2m+1\)
Którego jedynym rzeczywistym rozwiązaniem jest \(m=2\)
i odpowiedzieć: \((2,f(2))\)

Pozdrawiam